スーパーパーティキュラー

数学における隣接整数比 (英: superparticular ratio, epimoric ratio) は、連続する2つの整数による比である。

次のような形をとる:

[math]\displaystyle{ \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n} }[/math]

ここで [math]\displaystyle{ n }[/math] は正整数。ただし 2/1 (n=1) を含まないという流儀もあり、必要なら都度定義するのがよい。

（英語と違って"隣接整数比"では1より大きい数ということが明示されていないが、訳の工夫で対応する。reciprocal of a superparticular ratioは直訳して隣接整数比の逆数としてもよいが、1未満の隣接整数比とか、下隣接整数比といった用語を用意するのがよさそう）

隣接整数比は純正律に頻出する。倍音列の連続する2音は隣接整数比音程となる。例えば第20倍音と第21倍音は 21/20 だけ隔たっている。上のほうに行くほど倍音の間隔（周波数の差ではなく比として）は狭まっていくので、隣接整数比も小さくなっていく。このため、隣接整数比を調べることは整数比調律システムの中の簡単かつ小さい音程について調べることを意味する。実に、全てではないが多くのコンマが隣接整数比となっている。

既約で分母と分子の差が2以上の分数をsuperpartient ratioという。

分母と分子の差を一般化する用語が提案されている。デルタ-N 比 (en) は分子が分母より N だけ大きい比である。なのでデルタ1比は隣接整数比を意味する。

語源

superparticularという単語はラテン語から来ていて、"above by one part"（1パーツ分だけ超過している）という意味になる。相当するギリシャ語由来の単語はepimoric (希: επιμοριος, epimórios) である。

定義

古代ギリシャから19世紀頃まで、superparticularは2数の関係を表す用語だった。"When one number contains the whole of another in itself, and some part of it besides, it is called superparticular."（2数をAとBと呼ぶことにして、AがBを丸ごと含み、さらにBの等分したものを1個加えたものである場合、AはBのsuperparticularと呼ばれる。） 現代では、"... is superparticular"という表現はひとつの分数または比（または純正音程）に対して使われる。古い定義での2数を分数にして約分すると、新しい定義のsuperparticular ratioが得られる。言い換えると、分数が隣接整数比であるとは、約分されていることを前提として、分子を分母で割り算すると1余り1になるということである。

ほぼすべての場合で古い定義から作った比と新しい定義（[math]\displaystyle{ \frac{n + 1}{n} }[/math]、ここで [math]\displaystyle{ n }[/math] は正整数）は一致する。2/1 の場合だけ食い違いを見せる。伝統的ギリシャ算術によると、2/1 は比というより倍数である。割り算も2余り0となる。この視点によれば倍数と隣接整数比は重なりのないカテゴリーと考えることができる。音楽の言葉で言えば、2/1 は基本周波数の整数倍の音程であり、その他の隣接整数比はそうではないことを定義において考慮したらどうかということである。

性質

隣接整数比の性質を以下に示す。

• 隣接整数比音程の2音による差音がミッシング・ファンダメンタルと一致する。
• 隣接整数比の最初の6個（3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, 8/7）はハーモニックエントロピー (en) の重要な極小点となる。
• 2個の連続する隣接整数比の差（除算）は必ず隣接整数比になる。→平方隣接整数比 (en)
• 2個の連続する隣接整数比の積み重ね（乗算）は約分されて隣接整数比になるか、そうでなければデルタ2比になる。
• 隣接整数比は2個の隣接整数比の積にすることができる。
  • [math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n} = \frac{2n+1}{2n}\times\frac{2n+2}{2n+1} }[/math] である。例えば [math]\displaystyle{ \frac{9}{8} \times \frac{10}{9} = \frac{10}{8} = \frac{5 \times 2}{4 \times 2} = \frac{5}{4} }[/math] となる。（任意の項数に一般化できるのも明らか）
  • ほかの例として [math]\displaystyle{ \frac{12}{11} \times \frac{33}{32} = \frac{396}{352} = \frac{9 \times 44}{8 \times 44} = \frac{9}{8} }[/math]（4分割して小さいほうの3個をまとめて約分しただけともいう）
• ファレイ数列の連続する2項を a/b と c/d とすると、それは a/b < c/d かつ bc - ad = 1 ということでもあるのだが、ゆえに (c/d)/(a/b) = bc/ad は隣接整数比となる。
• Størmerの定理によると、それぞれのリミットにおいて隣接整数比は有限個しかない。

一般化

Taylorは一般化した用語について記述している。

• （実のところ n の値ひとつづつに対応した用語があるのだが、現代ではすたれているので略）
• superbipartient (or odd-particulars（隣接奇数比）) 分子割る分母が1余り2である、つまりデルタ2比のうち 5/3 以降が該当する。
• supertripartient (or throdd-particulars) 分子割る分母が1余り3である、つまりデルタ3比のうち 7/4 以降が該当する。
• multiple superparticular 分子割る分母がm余り1である。m=2 の時duple、m=3 の時triple、…

Generalisation in the "meta" direction gives rise to square superparticulars and then ultraparticulars, under the idea that if a superparticular is the difference between two adjacent harmonics then a square superparticular is the difference between two adjacent superparticulars and an ultraparticular is the difference between two adjacent square superparticulars. This gives rise to descriptions of infinite comma families of which many known commas are examples. A notable property is that just as "all superpartient ratios can be constructed as products of [consecutive] superparticular numbers", all ratios between two superparticular intervals (e.g (8/7)/(11/10) = 80/77) can be constructed as a product of consecutive square superparticular numbers (e.g 64/63 * 81/80 * 100/99 = S8 * S9 * S10), for the same algebraic reason as in the corresponding case of superpartient ratios. (There is a corresponding analogy with ultraparticulars too, for the same reason.)

See also

• List of superparticular intervals
• Square superparticular

External links

• Generalisation of the terms "epimoric" and "superparticular" as applied to ratios on the Sagittal forum