12平均律

提供: Xenharmonic Wiki
ナビゲーションに移動 検索に移動
← 11平均律12平均律13平均律 →
素因数分解 22 × 3
音程 100¢ (by definition) 
完全五度 7\12 (700¢)
(convergent)
半音比 (A1:m2) 1:1 (100¢ : 100¢)
一貫限度 9
厳密一貫限度 5
特異性

12平均律（これは明らかにテンペラメントであるので、おそらく12ETという名でよりよく知られている）は、今日、世界でも有力なチューニングである。5リミットハーモニーの響きをもつと強く言える、最小の均等分割(EDO)であり、1/12ピタゴラスコンマ（シントニックコンマのおよそ1/11あるいはスキスマ）ミーントーンとして、ミーントーンを表現するため、この地位を獲得した。

理論

素数倍音

12EDOにおける素数倍音の近似
倍音 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
誤差 絶対 (¢) +0.0 -2.0 +13.7 +31.2 +48.7 -40.5 -5.0 +2.5 -28.3 -29.6 -45.0
相対 (%) +0.0 -2.0 +13.7 +31.2 +48.7 -40.5 -5.0 +2.5 -28.3 -29.6 -45.0
ステップ
(reduced) 		12
(0) 		19
(7) 		28
(4) 		34
(10) 		42
(6) 		44
(8) 		49
(1) 		51
(3) 		54
(6) 		58
(10) 		59
(11)

チューニング

12平均律はオクターブを12個に均等に分割し、それはオクターブが拡大または縮小されていない限り正確に100セントである。12平均律は2セントフラットされたとてもよい近似の5度を持っている。長3度は13+2/3セントシャープされており、いくつかの音楽スタイルで十分に機能し、それ以外の音楽スタイルでは機能しない。そして短3度は15+2/3セントフラットされている。ヨーロッパのチューニングがだんだんと12ETに向かって近づいて行ったのはたぶん偶然ではない。12ETの欠陥があまり目立たなくなるように、音楽スタイルが変わったのである。けれども実際の演奏ではしばしば、演奏者によるチューニングの操作により、12ETの欠陥は減少されたことを心にとどめておくべきだ。

不完全な7度（7/4、968.83cent）は、31セントよりも大きくシャープされた音程により「示される」。そして他の四和音より明らかに目立つ。そのような四和音はしばしばドミナントセブンスコードとして機能和声で使われた。このコードの5リミットJIバージョンはおそらく1/1 - 5/4 - 3/2 - 16/9であろう。12ETは表向きには<12 19 28 34|ヴァル（val）を経由して7リミットミーントーンをサポートしているが、この7リミットの範囲における質は、疑いようもなく陳腐なものである。11と13については全く示さないと言えるが、17においては信用でき、19はより一層そうである。それでも、関連するチューニングの正確性はとても高く、12平均律は4番目のゼータインテグラル平均律である（zeta integral edo）。

次のコンマがテンパーアウトされる。ピタゴラスコンマ(3^12/2^19)、シントニックコンマ(81/80)、ディエシス(128/125)、ディアスキスマ(2048/2025)、アルキュタスコンマ(64/63)、7リミットの4分音(36/35)、ジュビリスマ(50/49)、7リミットのセミコンマ(126/125)、7リミットのクレイスマ(225/224)。特定の手法によりそれぞれは12ETの構造に影響を与える。そして問題のコンマを共有するチューニングシステムは、正確にそれらの方法で12ETに近づく。

純正音程近似

純正音程のマッピング

以下の表は、12平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。

セントは12平均律をもとに定義されているので、12平均律の絶対誤差と相対誤差は同じであることに注意。

12平均律内の15奇数リミット音程（直接近似, 一貫性の無いものも含む）
音程と補音程 誤差 (絶対, ¢) 誤差 (相対, %)
1/1, 2/1 0.000 0.0
3/2, 4/3 1.955 2.0
9/8, 16/9 3.910 3.9
13/11, 22/13 10.790 10.8
15/8, 16/15 11.731 11.7
5/4, 8/5 13.686 13.7
5/3, 6/5 15.641 15.6
7/5, 10/7 17.488 17.5
11/7, 14/11 17.508 17.5
9/5, 10/9 17.596 17.6
15/14, 28/15 19.443 19.4
13/7, 14/13 28.298 28.3
7/4, 8/7 31.174 31.2
7/6, 12/7 33.129 33.1
11/10, 20/11 34.996 35.0
9/7, 14/9 35.084 35.1
13/9, 18/13 36.618 36.6
15/11, 22/15 36.951 37.0
13/12, 24/13 38.573 38.6
13/8, 16/13 40.528 40.5
13/10, 20/13 45.786 45.8
11/9, 18/11 47.408 47.4
15/13, 26/15 47.741 47.7
11/8, 16/11 48.682 48.7
11/6, 12/11 49.363 49.4
12平均律内の15奇数リミット音程（パテントヴァルによるマッピング）
音程と補音程 誤差 (絶対, ¢) 誤差 (相対, %)
1/1, 2/1 0.000 0.0
3/2, 4/3 1.955 2.0
9/8, 16/9 3.910 3.9
15/8, 16/15 11.731 11.7
5/4, 8/5 13.686 13.7
5/3, 6/5 15.641 15.6
7/5, 10/7 17.488 17.5
11/7, 14/11 17.508 17.5
9/5, 10/9 17.596 17.6
15/14, 28/15 19.443 19.4
7/4, 8/7 31.174 31.2
7/6, 12/7 33.129 33.1
11/10, 20/11 34.996 35.0
9/7, 14/9 35.084 35.1
13/9, 18/13 36.618 36.6
15/11, 22/15 36.951 37.0
13/12, 24/13 38.573 38.6
13/8, 16/13 40.528 40.5
11/8, 16/11 48.682 48.7
11/6, 12/11 50.637 50.6
15/13, 26/15 52.259 52.3
11/9, 18/11 52.592 52.6
13/10, 20/13 54.214 54.2
13/7, 14/13 71.702 71.7
13/11, 22/13 89.210 89.2

レギュラー音律の性質

一様写像

11.5と12.5の間の13リミット一様写像
最小サイズ 最大サイズ Wart記法 Map
11.5000 11.5767 12bbcdddeeeff ⟨12 18 27 32 40 43]
11.5767 11.6722 12bbcdeeeff ⟨12 18 27 33 40 43]
11.6722 11.7071 12cdeeeff ⟨12 19 27 33 40 43]
11.7071 11.7554 12cdeff ⟨12 19 27 33 41 43]
11.7554 11.8436 12cde ⟨12 19 27 33 41 44]
11.8436 11.9329 12de ⟨12 19 28 33 41 44]
11.9329 11.9962 12e ⟨12 19 28 34 41 44]
11.9962 12.0256 12 ⟨12 19 28 34 42 44]
12.0256 12.2743 12f ⟨12 19 28 34 42 45]
12.2743 12.2853 12ccf ⟨12 19 29 34 42 45]
12.2853 12.2891 12cceef ⟨12 19 29 34 43 45]
12.2891 12.2958 12ccddeef ⟨12 19 29 35 43 45]
12.2958 12.3031 12ccddeefff ⟨12 19 29 35 43 46]
12.3031 12.5000 12bccddeefff ⟨12 20 29 35 43 46]

ランク2テンペラメント

12ETランク2テンペラメントのリスト(悪さ順)

12ETランク2テンペラメントのリスト(複雑さ順)

平均律とは異なった12fランク2テンペラメントのリスト

Periods
per octave 		Generator Temperaments
1 1\12 Ripple
1 5\12 Meantone/dominant
2 1\12 Srutal/pajara/injera
3 1\12 Augmented
4 1\12 Diminished
6 1\12 Hexe

12平均律の音程と近似値

「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=12, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
12 0 0.00 0.00
1 100.00 30.00 minor diatonic semitone ダイアトニックの短2度 16/15 -11.73 111.73 -3.52 33.52
1 100.00 30.00 major diatonic semitone ダイアトニックの長2度 15/14 -19.44 119.44 -5.83 35.83
2 200.00 60.00 minor whole tone 小全音 10/9 17.60 182.40 5.28 54.72
2 200.00 60.00 major whole tone 大全音 9/8 -3.91 203.91 -1.17 61.17
3 300.00 90.00 tridecimal minor third 13リミットの短3度 13/11 10.79 289.21 3.24 86.76
3 300.00 90.00 minor third 短3度 6/5 -15.64 315.64 -4.69 94.69
4 400.00 120.00 major third 長3度 5/4 13.69 386.31 4.11 115.89
4 400.00 120.00 undecimal diminished fourth or major third 11リミットの減4度または長3度 14/11 -17.51 417.51 -5.25 125.25
5 500.00 150.00 perfect fourth 完全4度 4/3 1.96 498.04 0.59 149.41
6 600.00 180.00 septimal or Huygens' tritone, BP fourth 7リミットまたはホイヘンスの3全音、ボーレン・ピアスの4度 7/5 17.49 582.51 5.25 174.75
6 600.00 180.00 Euler's tritone レオンハルト・オイラーの3全音 10/7 -17.49 617.49 -5.25 185.25
7 700.00 210.00 perfect fifth 完全5度 3/2 -1.96 701.96 -0.59 210.59
8 800.00 240.00 undecimal augmented fifth 11リミットの増5度 11/7 17.51 782.49 5.25 234.75
8 800.00 240.00 minor sixth 短6度 8/5 -13.69 813.69 -4.11 244.11
9 900.00 270.00 major sixth, BP sixth 長6度、ボーレン・ピアスの6度 5/3 15.64 884.36 4.69 265.31
10 1000.00 300.00 Pythagorean minor seventh ピタゴラスの短7度 16/9 3.91 996.09 1.17 298.83
10 1000.00 300.00 just minor seventh, BP seventh 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 9/5 -17.60 1017.60 -5.28 305.28
11 1100.00 330.00 classic major seventh 古典的な長7度 15/8 11.73 1088.27 3.52 326.48
12 1200.00 360.00

コンマをなだらかにする

12平均律を< 12 19 28 34 42 44 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma Monzo Value (Cents) Name 1 Name 2 Name 3
531441/524288 -19 12 > 23.46 Pythagorean Comma
648/625 3 4 -4 > 62.57 Major Diesis Diminished Comma
128/125 7 0 -3 > 41.06 Diesis Augmented Comma
81/80 -4 4 -1 > 21.51 Syntonic Comma Didymos Comma Meantone Comma
2048/2025 11 -4 -2 > 19.55 Diaschisma
5201701/5149091 26 -12 -3 > 17.60 Misty Comma
32805/32768 -15 8 1 > 1.95 Schisma
161 -84 -12 > 0.02 Atom
36/35 2 2 -1 -1 > 48.77 Septimal Quarter Tone
50/49 1 0 2 -2 > 34.98 Tritonic Diesis Jubilisma
64/63 6 -2 0 -1 > 27.26 Septimal Comma Archytas' Comma Leipziger Komma
3125/3087 0 -2 5 -3 > 21.18 Gariboh
126/125 1 2 -3 1 > 13.79 Septimal Semicomma Starling Comma
4000/3969 5 -4 3 -2 > 13.47 Octagar
321489/320000 -9 8 -4 2 > 8.04 Varunisma
225/224 -5 2 2 -1 > 7.71 Septimal Kleisma Marvel Comma
3136/3125 6 0 -5 2 > 6.08 Hemimean
5120/5103 10 -6 1 -1 > 5.76 Hemifamity
33554432/33480783 25 -14 0 -1 > 3.80 Garischisma
703125/702464 -11 2 7 -3 > 1.63 Meter
250047/250000 -4 6 -6 3 > 0.33 Landscape Comma
99/98 -1 2 0 -2 1 > 17.58 Mothwellsma
100/99 2 -2 2 0 -1 > 17.40 Ptolemisma
176/175 4 0 -2 -1 1 > 9.86 Valinorsma
896/891 7 -4 0 1 -1 > 9.69 Pentacircle
441/440 -3 2 -1 2 -1 > 3.93 Werckisma
9801/9800 -3 4 -2 -2 2 > 0.18 Kalisma Gauss' Comma
91/90 -1 -2 -1 1 0 1 > 19.13 Superleap
「https://ja.xen.wiki/index.php?title=12平均律&oldid=863」から取得