「数理最適化」の版間の差分

レギュラーテンペラメントは[[マッピング]]または[[コンマ基底]]によって定義される。これはチューニングを特定するような情報を含んでいない。このテンペラメントを調律するには、{{en仮リンク|tuning map}}を定義する、つまり各ジェネレーターのサイズを決定しなければならない。ではそれらはどうあるべきなのか？ 一般的に、テンペラメントは[[純正律]]を近似するものである。どうチューニングしてもいくつかの音程には不可避的に誤差が導入される（そもそも別々の純正音程をひとつの音程にしなければならないという無茶をやろうとしているのだ）。[[テンパーアウト|テンパー]]の肝は妥協にあり――関心のある音程の総合誤差が最小になるようなスイートスポットを見つけること、これにより元の純正律の和声をできるだけ保つようにする。

* ノルム最適化は、形式的素数（[[純正律サブグループ]]の基底のこと）だけではなく全ての音程（無限個）を対象とする、というていで、実際には無限和を回避し、音程の誤差を音程の複雑度で割ったもの（{{en仮リンク|damage}}）を考えることにより結局簡単な音程しか考える必要がなくなる（複雑度が有理数に関して加法的な振る舞いをするなら、例えば 9/4 の複雑度は 3/2 の複雑度の2倍になって誤差と比例するので割ったものは同じになり全ての音程のことを考えていると言えなくもない）という、よく言えばエレガントなチューニング方法である。

重み付けは対角行列で表され、形式的素数それぞれの重要度を決定する。[[ヴァルと調律空間|tuning space]]と[[モンゾと音程空間|interval space]]は互いに双対空間であって、tuning spaceでの重要度はinterval spaceでの複雑度の評価（簡単さ・原点への近さ）に相当する。テニー重みは最もありふれた重み付けであり、

となる。ここで ''Q'' = {{val| 2 3 5 … }} でありその中の各素数 ''q'' の重要度は 1/log₂(''q'')、複雑度は log₂(''q'') となる。

interval spaceにおいて各素数軸を直交させた場合は分数の形になっているものと合成数の形になっているものを同じ重要度として扱うが、分数の形のほうが重要であると考えることが多い。例えば、同じように 3 と 5 を1個づつ使っていても、5/3 のほうが 15/1 より重要だとみなされる。傾きはこれを理論に導入する。

制約条件（等式）を追加してそれも満たす最小化問題をきちんと解くこと。制約条件を増やした結果最小化以前に解が定まってしまう場合もある（純正のままにした音程のことを{{en仮リンク|固有モンゾ|eigenmonzo}}という。ランク-''n'' テンペラメントに固有モンゾを ''n'' 個設定すると解が定まってしまう。{{en仮リンク|minimax tuning}}なども参照のこと）。制約条件は最適化の{{w|実行可能領域}}を定義し、実行可能な範囲で最小化された結果をfeasibly optimalという。

（デストレッチを除いて）テンペラメントの最適化問題は以下のように定義できる。マッピング行列 ''V''、{{en仮リンク|純正律マップ|just intonation point}} ''J'' が与えられ、重み・傾き変換行列 ''X''、ノルムの次数 ''q''、制約条件があるならその固有モンゾを並べた行列 ''M'' を決定する。ジェネレーター{{en仮リンク|tuning map}}を ''G'' と書くと、