モンゾと音程空間

これは上級者向けページです。 経験豊富な読者がトピックの進んだ部分を学べるように書かれています。 対応する初心者向けページは モンゾ です。

このページではモンゾの正式な数学的定義を与え、また音程空間との関連も示す。

定義

p-リミットの有理数 q は定義より p 以下の素数の積に分解でき、以下のように表せる。

[math]\displaystyle{ \displaystyle q = 2^{e_2} \, 3^{e_3} \, 5^{e_5} \dotsm p^{e_p} }[/math]

ただし指数は整数である。

これはしばしばケットベクトル（詳細はWikipedia – ブラ-ケット記法を参照のこと）を模した表記を用いて、

[math]\displaystyle{ \displaystyle |e_2 \, e_3 \, e_5 \ldots e_p \rangle }[/math]

のように書かれる。この時、このベクトルをモンゾ(英: monzo)と呼ぶ。この名前は、ジョセフ・モンゾ (en) の情熱的な支援にちなんでいる。

モンゾのテニー高さ (en) は以下のように与えられる。

[math]\displaystyle{ \displaystyle \| |e_2 \, e_3 \ldots e_p \rangle \| = |e_2| + |e_3| \log_2 3 + \dotsb + |e_p| \log_2 p }[/math]

これはベクトル空間のノルムである。よって写像 [math]\displaystyle{ M:monzos \rightarrow I }[/math] によって p-リミットモンゾを次元 [math]\displaystyle{ n = \pi(p) }[/math] のノルム線型空間 [math]\displaystyle{ I }[/math] に埋め込むことができる。ただし [math]\displaystyle{ \pi(x) }[/math] は素数計数関数。この埋め込みの下、モンゾは格子を定義する。この格子は有限次元実ノルム線型空間 [math]\displaystyle{ I }[/math] を張る [math]\displaystyle{ I }[/math] の離散部分群である。

素数 k に対応する座標 e_k に log₂ k を乗じて座標を変換すると、このノルムは通常の L¹-ノルムとなる（詳細はWikipedia – L^p 空間#有限次元における p-ノルムを参照。）このベクトル空間はテニー音程空間であり、この通常の L¹-ノルムによって変換された座標がテニー空間の標準基底を構成する。 ここで、モンゾはある正の実数（モンゾの場合は常に有理数）と一対一で対応するが、テニー空間のベクトルはそうではないことに注意。例えば、[1 0⟩ は周波数比 2 を表すが、[0 log₃ 2⟩ も同様に 2 を表す。

ユークリッドノルムは数学的な利点を持つため、よく L¹-ノルムの代わりに音程空間のベクトルに対して適用される。この場合、テニー音程空間の代わりにテニー-ユークリッド音程空間 (en) が得られる。明示的にモンゾ [e₂ e₃ … e_p⟩ をとったとき、そのテニー-ユークリッドノルム(またはTEノルム)は以下のようになる。

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sqrt{e_2^2 + (e_3 \log_2 3)^2 + \dotsb + (e_p \log_2 p)^2} }[/math]

そして、座標が重み付けられた音程空間の座標ならば、そのTEノルムは標準ユークリッドノルム、または L²-ノルムとなる。

別の定義

q を有理数とすると、以下に示す定義によって q をモンゾ形式に書き換えることができる。

[math]\displaystyle{ \displaystyle q = |v_2 (q) \, v_3 (q) \, v_5 (q) \ldots v_p (q) \rangle }[/math]

このモンゾのTenney高さは以下のように与えられる。

[math]\displaystyle{ \displaystyle \| |v_2 (q) \, v_3 (q) \ldots v_p (q) \rangle \| = |v_2 (q)| + |v_3 (q)| \log_2 3 + \dotsb + |v_p (q)| \log_2 p }[/math]

ただし、[math]\displaystyle{ v_p(q) }[/math] は q の p 進付値である。

例

5-リミットの音程 16/15 (en) は 2⁴×3^-1×5^-1 と分解され、モンゾでは [4 -1 -1⟩ となる。重み付き座標の場合、[4 -log₂ 3 -log₂ 5⟩ となり、近似値では [4 -1.585 -2.322⟩ となる。

したがってTEノルムは

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sqrt{4^2 + (\log_2 3)^2 + (\log_2 5)^2} ≅ \sqrt{23.903} ≅ 4.889 }[/math]

となる。

関連項目

• 分数モンゾ (en)
• ヴァルと調律空間