テンパーアウト

テンパーアウトはレギュラーテンペラメント（ランク1の平均律も含む）がコンマのような小さい音程に行う何かである: それを消す（disappear、vanish）。

概要

音を周波数比で表すとして、それを消すということは、それを 1/1 と同じものにするということである。1/1 を掛けても何も変わらない。音をセントで表すなら、それを 0 セントにするということである。0 セントを足しても何も変わらない。

どちらの場合でも、それをするには我々のチューニングになにがしかの誤差を導入するということを意味する。例えば 3 を使いたい場合に代わりにわずかに大きいまたは小さい 3 を使う。どの素数にも誤差を導入することができ、コンマをひとつだけテンパーアウトするのなら任意の素数を選んで誤差なしにできる（不正確: ひとつだけとは限らない）。実際、多くの人は純粋なオクターブを得るために 2 を誤差なしにする。オクターブをテンパーする方向のチューニングもある。TOP tuning (en) など。

Tempering together

複数のコードや音程がtempered toghetherされるというのは、それらの対応するステップの間の差（コンマ）が全てテンパーアウトされることをいう。もし2つのコードがtempered togetherされると、そのテンペラメント上で両方のコードの表現（コードを構成するテンパーされた音程のセット）が同一になる。

例えば、81/80 をテンパーアウトするミーントーンにおいて、54:64:81 (with steps 32/27, 81/64) と 10:12:15 (with steps 6/5, 5/4) がtempered togetherされる。なぜなら [math]\displaystyle{ \textstyle\frac{32}{27}\cdot\frac{81}{80} = \frac{6}{5} }[/math] かつ [math]\displaystyle{ \textstyle\frac{81}{64} = \frac{5}{4}\cdot\frac{81}{80} }[/math]だから、つまり 81/80 を 1/1 にするということは 32/27 と 6/5 を同じに、81/64 と 5/4 を同じにすることも意味するからである。

Example

The syntonic comma is 81/80. That is テンプレート:Sfrac or, in monzo form, [-4 4 -1⟩.

19edo tempers out 81/80. (Technically, we should say that 19edo tempers out 81/80 when you use the patent val.) You can see this in several ways:

1. Counting steps of the val

Because there are no primes larger than 5 in 81/80, we say it is a 5-limit comma. The 5-limit patent val for 19edo is ⟨19 30 44]. That means that you add 19 steps of 19edo to get to 2/1, 30 steps to get closest to 3/1, and 44 steps to get closest to 5/1.

Note that, because this is an edo, 19 steps gets you precisely to 2/1. We say that 30 steps of 19edo gets you to 3/1, but that is only an approximation. Same with 5/1, etc. This is where the error in the primes gets introduced. Don't worry, though, it is very useful error.

Getting to 81 is 3×3×3×3, or, with 19edo steps, 30 + 30 + 30 + 30 = 120 steps of 19edo.

Getting to 80 is 5×2×2×2×2, or, with 19edo steps, 44 + 19 + 19 + 19 + 19 = 120 steps of 19edo.

Getting to 81/80 means adding the steps needed to get to 81, and subtracting the steps needed to get to 80. 120 steps − 120 steps = 0 steps.

Applying the monzo to the val (also called getting the homomorphism) is easier. Multiply the first number in the monzo (which represents the number of 2/1's in the comma) and by the first number in the val (which represents the number of steps it takes to get to 2/1), then multiply the second number in the monzo by the second number in the val, then the third by the third, and add them all together: (−4 × 19) + (4 × 30) + (−1 × 44) = 0 steps.

Therefore, adding 81/80 to any interval in 19edo means adding 0 steps of 19edo to it. In other words, 81/80 is effectively zero: 81/80 is tempered out.

2. Painstakingly doing the math

We say that 30 steps of 19edo gets you to 3/1, but, as we say above, that is an error. One step of 19edo is the 19th root of 2, or 2^1/19, or approximately 1.037155. (That is 63.157895 cents.) If you multiply that by itself 19 times, you get exactly 2. But if you multiply that by itself 30 times, you do not get 3: You get 2.987518. Similarly, multiplying it by 44 steps gets you 4.97877 instead of 5.

If we plug in these values into 81/80, we see that 81/80 is tempered out:

81/80 = 3*3*3*3 / 5*2*2*2*2 = (3^4) / (5)*(2^4). // Substitute our values and you get

(2.987518 ^ 4) / (4.97877)*(2^4) 
= 79.660326 / (4.97877 * 16) 
= 79.660326 / 79.660326
= 1/1

Notes