純正律サブグループ

純正律サブグループ、あるいは純正律部分群は、有限個の正有理数から任意の可逆な乗算によって生成されるアーベル群である。部分群を用いることで、純正音程を構成する方法が得られる。したがって、レギュラーテンペラメントなどの理論に於いては度々重要視される。

純正律部分群の表記は、生成元（ジェネレーター）を句点で区切って列挙することで記述される。以下ではこの表記法を用いる。標準的な数学表記では、c₁...c_r を正の実数とし、v_k を log₂(c_k) オクターブに相当する音程とする。すると

[math]\displaystyle{ c_1.c_2.\cdots.c_r := \operatorname{span}_\mathbb{Z} \{v_1, ..., v_k\}. }[/math]

のように記述される。

正規化

純正律部分群に使用する命名法の原則は、標準音程リストを部分群の生成元に適用することであり、リストにおける生成元の数による群の階数を与える。下により興味深い部分群体系を示す。もし体系によって音階が与えられるなら、それは音階の音で生成された部分群を示す。

群の指数

どんな群も、部分群の素数リミットをpとすると、その最小値のためのp-リミット群に含まれる。

注意深く純正律部分群を検討するのは、議題の群が、完全なp-リミット群ではないときだけである。そのような部分群は、有限な指数と無限の指数の2つで、直感的に話される。その指数は、完全なp-リミット群の中で、部分群の関連あるサイズを計算する。たとえば、4と3、2と9、4と6で生成された部分群は、完全なピタゴラスの3リミットの中で指数2を持つ。3リミットが作る音程の半分は、それらのどれか1つに所属し、そして半分は所属せず、そしてすべての3つの群は異なっている。一方、2と3と7で生成された部分群は、2と3と5と7で生成される完全な7リミット群の無限な指数を作る。その指数は、部分群基底行列の行列式から計算される。その行列は生成元のモンゾの列を持つ。

部分群のリスト

7-リミット部分群

2.3.7

これは次のような意味である。7リミット純正律のサブグループの1つである2.3.7は、2と3と7で作られる周波数比を示す。たとえば7:6や14:9、8:7などである。これらは5:4や13:11を含まない。そしてこれが発生する平均律は、5、31、36、135、571平均律である。

• 平均律: 5, 31, 36, 135, 571

• アルキュタスのダイアトニック（Archytas Diatonic）[8/7, 32/27, 4/3, 3/2, 12/7, 16/9, 2/1]

• サッフィー・アッディーンのセプティマル（Safi al-Din Septimal）[8/7, 9/7, 4/3, 32/21, 12/7, 16/9, 2/1]

2.5.7

• 平均律: 6, 25, 31, 171, 239, 379, 410, 789

2.3.7/5

• 平均律: 10, 29, 31, 41, 70, 171, 241, 412

2.5/3.7

• 平均律: 12, 15, 42, 57, 270, 327

2.5.7/3

• 平均律: 9, 31, 40, 50, 81, 90, 171, 261

2.5/3.7/3

• 平均律: 27, 68, 72, 99, 171, 517

2.27/25.7/3

• 平均律: 9

事実上、9平均律と同等で、[27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27, 2]によって与えられる7リミットバージョンを持つ。

2.9/5.9/7

• 平均律: 6, 21, 27, 33, 105, 138, 171, 1848, 2019, 2190, 2361, 2532, 2703, 2874, 3045, 3216, 3387, 3558

テレイン・テンペラメント（Terrain temperament）部分群。

11-リミット部分群

2.3.11

• 平均律: 7, 15, 17, 24, 159, 494, 518, 653

• Zalzal, al-Farabi's version [9/8, 27/22, 4/3, 3/2, 18/11, 16/9, 2/1]

2.5.11

• 平均律: 6, 7, 9, 13, 15, 22, 37, 87, 320

2.7.11

• 平均律: 6, 9, 11, 20, 26, 135, 161, 296

2.3.5.11

• 平均律: 7, 15, 22, 31, 65, 72, 87, 270, 342, 407, 494

2.3.7.11

• 平均律: 9, 17, 26, 31, 41, 46, 63, 72, 135

ラドン・テンペラメント（Radon temperament）部分群。プトレマイオスが奮闘したクロマティック（Ptolemy Intense Chromatic）[22/21, 8/7, 4/3, 3/2, 11/7, 12/7, 2/1]から生成される。

Gallery of 2.3.7.11 Subgroup Scalesを参照

2.5.7.11

• 平均律: 6, 15, 31, 35, 37, 109, 618, 960

2.5/3.7/3.11/3

• 平均律: 33, 41, 49, 57, 106, 204, 253

インジウム・テンペラメント（Indium temperament）部分群。

13-リミット部分群

2.3.13

• 平均律: 7, 10, 17, 60, 70, 130, 147, 277, 424

• Mustaqim mode, Ibn Sina [9/8, 39/32, 4/3, 3/2, 13/8, 16/9, 2/1]

2.3.5.13

• 平均律: 15, 19, 34, 53, 87, 130, 140, 246, 270

• Cata, Trinidad, Parizekmicテンペラメント部分群。

2.3.7.13

• 平均律: 10, 26, 27, 36, 77, 94, 104, 130, 234

• Buzurg [14/13, 16/13, 4/3, 56/39, 3/2]

• Safi al-Din tuning [8/7, 16/13, 4/3, 32/21, 64/39, 16/9, 2/1]

• Ibn Sina tuning [14/13, 7/6, 4/3, 3/2, 21/13, 7/4, 2]

2.5.7.13

• 平均律: 7, 10, 17, 27, 37, 84, 121, 400

Huntington temperament部分群。

2.5.7.11.13

• 平均律: 6, 7, 13, 19, 25, 31, 37

Roulette temperament部分群。

2.3.13/5

• 平均律: 5, 9, 14, 19, 24, 29, 53, 82, 111, 140, 251, 362

Barbados temperament 部分群。

2.3.11/5.13/5

• 平均律: 5, 9, 14, 19, 24, 29

Bridgetown temperament部分群。

2.3.11/7.13/7

• 平均律: 5, 7, 12, 17, 29, 46, 75, 196, 271

Pepperoni temperament部分群。

2.7/5.11/5.13/5

• 平均律: 5, 8, 21, 29, 37, 66, 169, 235

Tridec temperament部分群。