31平均律
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31平均律 (31 Equal temperament)は、31-TET, 31-EDO, 31-ET とも略称され、オクターブを31段の等間隔なステップ（等しい周波数比）に分割することにより得られる音律である。各ステップは周波数比 [math]\displaystyle{ 2^{1/31} }[/math]、または 1200/31 ≈ 38.70967742 ¢ である。
歴史
14世紀初頭、ディエシス（オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.059セント）がほぼ全音の1/5、あるいは半音の1/3である、とする研究がマルケット・ダ・パドヴァにより行われていた。
1555年、ニコラ・ヴィチェンティーノの『現代の実践に適応させた古代音楽』(L'antica musica ridotta alla moderna prattica)においてこの研究が再考され、彼により1オクターブ当たり36音に拡張された1/4コンマ中全音律のArchicembaloが造られた。
1618年、ファビオ・コロンナによって、ヴィチェンティーノのチェンバロの研究として、オクターブあたり31音にに拡張された1/4コンマ中全音律の sambuca という楽器を造り、自著(La Sambuca Lincea)において全音の1/5の音程に関する変位記号を提案した。
1666年にレメ・ロッシが自著(Sistema musico, ouero Musica speculativa doue SI spiegano i più celebri sistemi di tutti i tre generi)の中において最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者クリスティアーン・ホイヘンスがこれに関し記述した。
この時代の標準的な調律のシステムが、5度が [math]\displaystyle{ 5^{1/4} }[/math] の周波数比に調整される1/4コンマ中全音律であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.196セント広いだけの約696.774セントの音程を持つ。
ホイヘンスは、31平均律が7リミット和声の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。
20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもある Adriaan Fokker は、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。彼は1951年にオランダのハールレムにあるテイラー博物館に31平均律オルガンを設置した。現在オルガンはアムステルダムのアイ湾音楽堂に移設されている。
理論
31平均律の完全5度は純正な 3/2 より 5.2￠低い。したがって、Meantone にふさわしい。長3度については純正な 5/4 よりたった0.78￠高いだけであり、1/4コンマ中全音律よりわずかに高い程度である。31平均律の 7/4 の近似値についても1.08低い程度で、純正に極めて近い。したがって 5/4 と 7/4 がほぼ純正に近いことから、31平均律は 7-limit において比較的正確である。多くの7-limit 純正の音階は31平均律でよく近似される（当然ながら平均律化を施して）。
素数11は精度がやや低く、11/8 のような音程は約9セントずれる。しかし 11/9 や 11/6 のような音程は誤差が相殺されるため非常に良く近似される。この特性により31平均律は 11-limit の音階（特に 11-odd-limit ）の旋律的近似として非常に効率的だが、 9/7 と 14/11 、 11/8 と 15/11 などを混同する。また、 15-odd-limit のほとんどの音程を一貫してマップするが、例外は13/9、13/11、およびそれらのオクターブ補完音程である。
31平均律が特に正確である他の点として、7、9、11の odd- limit においてペッパーの曖昧さ(英語版)における記録を象徴し、一貫性を保っていることが挙げられる。また厳密なゼータ平均律(英語版)でもあり、ゼータピーク、ゼータピーク整数、ゼータ積分、ゼータギャップ平均律を同時に満たす。
31平均律のの1単位音程（約38.7¢）は「ディエシス」(diesis)と呼ばれる。これは12平均律で緩和される複数の音程のことについて言う。（特に 128/125 と 648/625 ）。ディエシスは31edoを特徴づける音であり、音階に直接現れない場合でも、類似した大きさの2つ以上の音程差として頻繁に現れる。
素数倍音
| 倍音 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | +0.0 | -5.2 | +0.8 | -1.1 | -9.4 | +11.1 | +11.2 | +12.2 | -8.9 | +15.6 | +16.3 |
| 相対 (%) | +0.0 | -13.4 | +2.0 | -2.8 | -24.2 | +28.6 | +28.9 | +31.4 | -23.0 | +40.3 | +42.0 | |
| ステップ (reduced) |
31 (0) |
49 (18) |
72 (10) |
87 (25) |
107 (14) |
115 (22) |
127 (3) |
132 (8) |
140 (16) |
151 (27) |
154 (30) | |
他のテンペラメントとしての音律
31平均律は、Meantone 以外にも、mohajira 、mothra 、そして最適とは言えないMiracle や valentine のテンペラメントにも使用できる。これらの音律は、31平均律の5度音程(18ディエシス)を2、3、6、9等分する。mohajira とその代替（migration）は31平均律において統合され、一つのステムの中で、ほぼ最適な11-limit-meantoneの構造を形成する。実際、31平均律は、81/ 80、99/ 98、121/120、126 / 125を緩和する唯一の音律として定義できます。
31平均律は、完全12度音程を7等分し、7/6に近似する音程を得るという、orwell もサポート(英語版)している。また、31平均律がサポートする注目すべき音律として、3度音程を5つの異なる音程（縮3度、短3度、中立3度、長3度、拡3度、すなわちそれぞれ 7/6 、6/5 、 11/9～16/13 、 5 /4 、 9/7 ）に分割するmynaもサポートしている。
サブセットとスーパーセット
31平均律は11番目の素数平均律であり、29平均律の次、37平均律の前に位置する。31平均律には非自明な部分集合のオクターブ等分音律は含まれないが、31ed4が含まれる。31平均律の2倍である62平均律は、音律を13、17、19-limit で拡張する別の方法を提供する。
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、31平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 5/4, 8/5 | 0.783 | 2.0 |
| 11/9, 18/11 | 0.979 | 2.5 |
| 7/4, 8/7 | 1.084 | 2.8 |
| 7/5, 10/7 | 1.867 | 4.8 |
| 15/14, 28/15 | 3.314 | 8.6 |
| 7/6, 12/7 | 4.097 | 10.6 |
| 11/6, 12/11 | 4.202 | 10.9 |
| 15/8, 16/15 | 4.398 | 11.4 |
| 15/11, 22/15 | 4.985 | 12.9 |
| 3/2, 4/3 | 5.181 | 13.4 |
| 5/3, 6/5 | 5.964 | 15.4 |
| 11/7, 14/11 | 8.298 | 21.4 |
| 9/7, 14/9 | 9.278 | 24.0 |
| 11/8, 16/11 | 9.382 | 24.2 |
| 11/10, 20/11 | 10.166 | 26.3 |
| 13/10, 20/13 | 10.302 | 26.6 |
| 9/8, 16/9 | 10.362 | 26.8 |
| 13/8, 16/13 | 11.085 | 28.6 |
| 9/5, 10/9 | 11.145 | 28.8 |
| 13/7, 14/13 | 12.169 | 31.4 |
| 15/13, 26/15 | 15.483 | 40.0 |
| 13/12, 24/13 | 16.266 | 42.0 |
| 13/9, 18/13 | 17.263 | 44.6 |
| 13/11, 22/13 | 18.242 | 47.1 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 5/4, 8/5 | 0.783 | 2.0 |
| 11/9, 18/11 | 0.979 | 2.5 |
| 7/4, 8/7 | 1.084 | 2.8 |
| 7/5, 10/7 | 1.867 | 4.8 |
| 15/14, 28/15 | 3.314 | 8.6 |
| 7/6, 12/7 | 4.097 | 10.6 |
| 11/6, 12/11 | 4.202 | 10.9 |
| 15/8, 16/15 | 4.398 | 11.4 |
| 15/11, 22/15 | 4.985 | 12.9 |
| 3/2, 4/3 | 5.181 | 13.4 |
| 5/3, 6/5 | 5.964 | 15.4 |
| 11/7, 14/11 | 8.298 | 21.4 |
| 9/7, 14/9 | 9.278 | 24.0 |
| 11/8, 16/11 | 9.382 | 24.2 |
| 11/10, 20/11 | 10.166 | 26.3 |
| 13/10, 20/13 | 10.302 | 26.6 |
| 9/8, 16/9 | 10.362 | 26.8 |
| 13/8, 16/13 | 11.085 | 28.6 |
| 9/5, 10/9 | 11.145 | 28.8 |
| 13/7, 14/13 | 12.169 | 31.4 |
| 15/13, 26/15 | 15.483 | 40.0 |
| 13/12, 24/13 | 16.266 | 42.0 |
| 13/11, 22/13 | 20.468 | 52.9 |
| 13/9, 18/13 | 21.447 | 55.4 |
31平均律の音程と近似値
主な純正音程との対応は以下のようになる。
| 段数 | cent | DMS | 音程名 | 純正比 | 純正 (cent) |
error (cent) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.000 | 0.000 | 同度，ユニゾン | 1/1 | 0.000 | 0.000 |
| 1 | 38.710 | 11.613 | 長1度，ディエシス，
減2度 |
49/48 45/44 |
35.697 38.906 |
+3.013 −0.196 |
| 2 | 77.419 | 23.226 | 半音階的半音，
増1度， 縮2度 |
25/24 22/21 21/20 |
70.672 80.537 84.467 |
+6.747 −3.118 −7.048 |
| 3 | 116.129 | 34.839 | 全音階的半音，
短2度 |
16/15 15/14 |
111.731 119.443 |
+4.398 −3.314 |
| 4 | 154.839 | 46.452 | 中立2度 | 12/11 | 150.637 | +4.202 |
| 5 | 193.548 | 58.065 | 全音，長2度 | 10/9 9/8 |
182.404 203.910 |
+11.145 −10.362 |
| 6 | 232.258 | 69.677 | 拡2度，減3度 | 8/7 | 231.174 | +1.084 |
| 7 | 270.968 | 81.290 | 縮3度，増2度 | 7/6 | 266.871 | +4.097 |
| 8 | 309.677 | 92.903 | 短3度 | 6/5 | 315.641 | −5.964 |
| 9 | 348.387 | 104.516 | 中立3度 | 11/9 | 347.408 | +0.979 |
| 10 | 387.097 | 116.129 | 長3度 | 5/4 | 386.314 | +0.783 |
| 11 | 425.806 | 127.742 | 拡3度，減4度 | 14/11 9/7 |
417.508 435.084 |
+8.298 −9.278 |
| 12 | 464.516 | 139.355 | 短4度，増3度 | 13/10 21/16 |
454.214 470.781 |
+10.302 −6.265 |
| 13 | 503.226 | 150.968 | 完全4度 | 4/3 | 498.045 | +5.181 |
| 14 | 541.935 | 162.581 | 長4度 | 15/11 11/8 |
536.951 551.318 |
+4.985 −9.382 |
| 15 | 580.645 | 174.194 | 増4度 | 7/5 | 582.512 | −1.867 |
| 16 | 619.355 | 185.806 | 減5度 | 10/7 | 617.488 | +1.867 |
| 17 | 658.065 | 197.419 | 短5度 | 16/11 22/15 |
648.682 663.049 |
+9.382 −4.985 |
| 18 | 696.774 | 209.032 | 完全5度 | 3/2 | 701.955 | −5.181 |
| 19 | 735.484 | 220.645 | 長5度，減6度 | 32/21 20/13 |
729.219 745.786 |
+6.265 −10.302 |
| 20 | 774.194 | 232.258 | 増5度，縮6度 | 14/9 11/7 |
764.916 782.492 |
+9.278 −8.298 |
| 21 | 812.903 | 243.871 | 短6度 | 8/5 | 813.686 | −0.783 |
| 22 | 851.613 | 255.484 | 中立6度 | 18/11 | 852.592 | −0.979 |
| 23 | 890.323 | 267.097 | 長6度 | 5/3 | 884.359 | +5.964 |
| 24 | 929.032 | 278.710 | 拡6度，減7度 | 12/7 | 933.129 | −4.097 |
| 25 | 967.742 | 290.323 | 縮7度，増6度 | 7/4 | 968.826 | −1.084 |
| 26 | 1006.452 | 301.935 | 短7度 | 16/9 9/5 |
996.090 1017.596 |
+10.362 −11.145 |
| 27 | 1045.161 | 313.548 | 中立7度 | 11/6 | 1049.363 | −4.202 |
| 28 | 1083.871 | 325.161 | 長7度 | 15/8 | 1088.269 | −4.398 |
| 29 | 1122.581 | 336.774 | 減8度，拡7度 | 21/11 | 1119.463 | +3.118 |
| 30 | 1161.290 | 348.387 | 短8度，増7度 | |||
| 31 | 1200.000 | 360.000 | オクターヴ | 2/1 | 1200.000 | 0.000 |
他のテンペラメントの近似として
31平均律の最も際立った特徴は、ほとんど純正な長3度と、完全4度、そして短3度をもつことであり、その誤差は6セントより狭い。ミーントーンテンペラメントとしてもよいチューニングである。31平均律はまた、Miracleテンペラメントとしても適している。
拡大されたハーモニーとして
31平均律はより一層12平均律より協和するハーモニーを提供する。
音程とリニアーテンペラメント
31は素数であるため、31平均律が受けもつすべてのランク2テンペラメントは1オクターブ1ピリオドである。それゆえ、それぞれの線形テンペラメントはジェネレーター (generator)として特定の音程に対応付けられる。
31平均律で緩和されるコンマ
31平均律を ⟨31 49 72 87 107 115 127 132] ヴァルとみなした時、以下のコンマを緩和する。
| Comma | Value (Cents) | Name |
|---|---|---|
| 81/80 | 21.506 | シントニックコンマ (syntonic comma) |
| 393216/390625 | 11.445 | ヴィルシュミット・コンマ (Würschmidt comma) |
| 1990656/1953125 | 32.952 | ヴァレンタイン・コンマ (valentine comma) |
| 2109375/2097152 | 10.061 | セミコンマ (semicomma) |
| 126/125 | 13.795 | Starling comma |
| 225/224 | 7.7115 | Marvel comma |
| 1029/1024 | 8.4327 | gamelisma |
| 1728/1715 | 13.074 | orwellisma |
| 2401/2400 | 0.7212 | breedsma |
| 99/98 | 17.576 | mothwellsma |
| 121/120 | 14.367 | biyatisma |
| 176/175 | 9.8646 | valinorsma |
| 243/242 | 7.1391 | rastma |
| 385/384 | 4.5026 | keenanisma |
| 441/440 | 3.9302 | werckisma |
| 540/539 | 3.2090 | swetisma |
| 66/65 | 26.432 | winmeanma |
| 105/104 | 16.567 | animist |
| 144/143 | 12.064 | grossma |
| 196/195 | 8.8554 | mynucuma |
| 275/273 | 12.637 | gassorma |
| 351/350 | 4.9393 | ratwolfsma |