パテントヴァル

あるオクターブ平均律におけるパテントヴァル（patent val、特徴的なヴァル）または最近傍マッピング（nearest edomapping）とは、その平均律チューニング（純正律との対応を定めていないただの等間隔ピッチ集合。以下 n-等分律と書く）において各素数音程を最近接丸めして得られるヴァルのことである。この際オクターブは純正（誤差なし）とする。これの基本的な使い方は素数音程をステップ数に丸めて、それをもとに任意の純正音程のステップ数を求めることである。

The patent val (a.k.a. nearest edomapping) for an edo is a list of numbers you obtain by finding the closest rounded approximation to each prime harmonic in the tuning, assuming octaves are pure (or in other words, assuming the edo number is an integer). The basic application of a patent val is that you round prime harmonics to edosteps, and then deduce the number of steps of an arbitrary just interval based on its prime factorization.

例えば、17平均律のパテントヴァルは ⟨17 27 39] であり、それは 2/1 の最近傍マッピングは 17 ステップであり、3/1 の最近傍マッピングが 27 ステップであり、5/1 の最近傍マッピングが 39 ステップであることを示す。このことはすなわち、もしオクターブが純正ならば、3/2 は 706 セントであり、本来の 3/2 が17等分律にある一番近い音程に丸められている。そして 5/4 は 353 セントとなり、こちらも本来の 5/4 を17等分律にある音程に丸めて得たものである。

For example, the patent val for 17edo is ⟨17 27 39], indicating that the closest mapping for 2/1 is 17 steps, the closest mapping for 3/1 is 27 steps, and the closest mapping for 5/1 is 39 steps. This means, if octaves are pure, that 3/2 is 706 cents, which is what you get if you round off 3/2 to the closest location in 17-equal, and that 5/4 is 353 cents, which is what you get is you round off 5/4 to the closest location in 17-equal.

一般化パテントヴァル

→詳細は「 Uniform map 」を参照

このヴァルの概念はオクターブのステップの数について、整数から実数に拡大されることができる。これを一般化パテントヴァル（generalized patent val、GPV）と呼ぶ。例えば、16.9edo（これは16L 1sなMOSスケールではなく、169 ステップで 10 オクターブになる等分律を表す）のための7リミットにおける一般化パテントヴァルは、⟨17 27 39 47] であり、16.9 × log2(7) = 47.444 であることから、7/1 を 48 ステップではなく 47 ステップに切り下げている。

This val can be extended to the case where the number of steps in an octave is a real number rather than an integer; this is called a generalized patent val, or GPV. For instance the 7-limit generalized patent val for 16.9 is ⟨17 27 39 47], since 16.9 × log₂7 = 47.444, which rounds down to 47.

a visualization of all possible GPVs through the 13-limit up to 99et (any vertical slice is a GPV)

パテントヴァルに加えて検討する価値のあるマッピングが存在する。5リミットの17平均律を考えよう。⟨17 27 40] がパテントヴァルであり、これは各素数をそれぞれ最近接丸め（再確認、パテントヴァルは純オクターブつまり整数edoを想定する）したものである。しかしこの規制を解除するなら、5/1 の「次に良い近似」を利用できるようになって、我々が気に掛ける協和音全体の被害を軽減できる。言い換えると、39 ステップは 40 ステップよりわずかに素数 5 に近いのだが、これは素朴すぎる選択であって、他の素数との組み合わせで誤差が打ち消されたり強め合ったりする効果を考慮に入れていない。この問題を深く考察すると ⟨17 27 40] という選択肢が浮かび上がってくる。また ⟨17 27 39] より ⟨17 27 40] を選ぶほかの理由もある; それは異なるコンマをテンパーアウトする。

There are other vals worth considering besides the patent val. Consider the case of 5-limit 17et. ⟨17 27 39] is the patent val, meaning each prime individually is as closely approximated as possible (again, assuming pure octaves). However, if that constraint is lifted, and we're allowed to choose the next-closest approximations for prime 5, the overall damage to the consonances we care about can be reduced; in other words, even though 39 steps can take you just a tiny bit closer to prime 5 than 40 steps can, this is a naïve choice which does not take into account whether the errors tend to cancel or reinforce in simple ratios that combine different primes. Considering the problem more deeply in this manner may lead to choosing ⟨17 27 40] instead. And there are other harmonic reasons to choose ⟨17 27 40] over ⟨17 27 39] as well; it tempers different commas.

⟨17 27 40] は17.1edoのパテントヴァルつまり一般化パテントヴァルであり、17.1 × log2(5) = 39.705 は 40 に切り上げられる。本質的にそこにはあるジェネレーターの存在があり、そのサイズは　2^1/17.1 である。これには 17、27、40 ステップがそれぞれ素数 2、3、5 の最良近似になるという事実が伴う。これはつまり、我々は素数を真実に一番近いものにしないように「強制」しているわけではないということである。そうでない（している）例が ⟨17 27 41] である。2 を 17 ステップに、かつ 5 を 41 ステップにマップするジェネレーターサイズを見つけることはできるが、それは必ず 3 を 28 ステップにマップするものになる。（今のは雑な例だが、ミーントーンであって1/2コンマミーントーンに近い ⟨59 93 136 163] (59bcddddd) なども一般化パテントヴァルでは表せない。）（可能な組み合わせは右図から容易に読み取れる。）

We can show that ⟨17 27 40] is a generalized patent val because it would be the patent val for 17.1et: 17.1 × log₂5 = 39.705, which rounds up to 40. Essentially this is showing that there does exist some generator size, 2^1/17.1, for which it is truly the case that 17, 27, and 40 are the respective best approximations of primes 2, 3, and 5. That is, we are not "forcing" an interpretation of a prime which is not closest to the truth. A counterexample would be ⟨17 27 41]: it is possible to find a generator that maps 2 to 17 steps and 5 to 41 steps, but it would require 3 to be 28 steps (this type of information can be read easily off the nearby visualization).

一般化パテントヴァルはまたの名をuniform mapという（そしてパテントヴァルの別名がinteger uniform map、またはsimple mapとなる）。

Another name for generalized patent val is uniform map (and an integer uniform map, or simple map, is another name for patent val).

詳細な説明

p-リミットのヴァルは p までの素数それぞれを何ステップで表すかを示す数値を並べたものである。

A p-limit val contains the number of steps it takes to get to each prime number up to p, in prime number order:

⟨[2/1] [3/1] [5/1] [7/1] … [p/1]]

与えられた N-edo、つまりオクターブを N 等分する等分律について、特定のステップ数と素数との間をマップするヴァルを定義することができる。

Given N-edo, the equal division of the octave into N parts, we may define vals that map a specific number of N-edo steps to these primes.

任意の素数 p について対応する p-リミットのヴァルを次の規範的な方法で見つけることができる: ⟨1 log₂3 log₂5 … log₂p] を N 倍（スカラー倍）してから各要素を整数に丸め（四捨五入す）る。一般的にはこれは可能な中で最も正確なヴァルであることを保証されないが、N-edo が p-リミットに応じて十分正確であるならば、そうなるであろう。patentという名前はその意味の一つが "obvious" と同義語であることからくる。パテントヴァルはベストチョイスだったりそうでなかったりするが、簡明で明白な選択肢である。

For any prime p we can find a corresponding p-limit val in a canonical manner by scalar multiplying ⟨1 log₂3 log₂5 … log₂p] by N and rounding to the nearest integer. In general this is not guaranteed to be the most accurate available val, but if N-edo has enough relative accuracy in the p-limit, it will be. The name patent comes from the fact that "patent" in one sense of the word is a synonym for "obvious"; the patent val may or may not be the best choice but it's the obvious choice.

この工程の考え方の一つが次の問いを立てることである、「各素数を得るのにいくつの 1200 セントなステップ（つまりオクターブ）が必要だろうか？」 2/1 を得るのに 1 個の完全なオクターブが必要で、3/1 を得るのに log₂3 個分が必要で、5/1 を得るのに log₂5 個分が必要で、以下同様。これにより ⟨1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log₂p] を得る。

One way to think of this process is to first ask, "How many 1200-cent steps (octaves) does it take to get to each prime?" It takes one full-octave step to get to 2/1, log₂3 steps to get to 3/1, log₂5 to get to 5/1, and so on. This gives us ⟨1 1.585 2.322 2.807 3.459 … log₂p].

次の問いは、「それらの同じ場所にいくつの N-edoのステップで到達できるだろうか？」 例えば12edoだったらオクターブを12等分するので先ほどの「オクターブ何個分」を 12 倍すればよい。31edoだったら 31 倍すればよい。

Then ask, "How many more N-edo steps does it take to get to the same places?" One 12edo step is 1/12th of an octave, by definition; therefore, you need 12 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, … Similarly, one 31edo step is 1/31 of an octave, so you need 31 times as many steps to reach 2/1, 3/1, 5/1, …

なので、N-edoのための p-リミットのパテントヴァルは ⟨1 1.585 2.322 2.807 … log₂p] を N 倍し、そういえば等分律のステップをさらに細かくするようなことはできないので、結果を一番近い整数に丸める。

Thus, the way to get the p-limit patent val for N-edo is to multiply ⟨1 1.585 2.322 2.807 … log₂p] by N. Then, since you can't take fractional steps in an edo, you round the results to the nearest integers.

Examples

Example for 12edo

Multiplying 12 times ⟨1 1.585 2.322 2.807 3.459]

yields ⟨12 19.020 27.863 33.688 41.513],

rounded to ⟨12 19 28 34 42],

which is the 11-limit patent val for 12edo.

Alternate and expanded example for 31edo

As stated above, the val contains the number of steps it takes to get to a given prime number, in prime number order:

⟨[2/1] [3/1] [5/1] [7/1] [etc.]]

By definition, for any edo, the number of steps to 2/1 is the edo division: 31 for 31edo. The 2-limit patent val is ⟨31].

What's the number of steps to 3/1?

The step size for 31edo is 38.70967742 cents.

3/1 is 1901.96 in cents.

1901.96 cents / 38.70967742 cents/step = 49.13383752 steps.

This is an edo, so we can't take 0.13383752 steps. Instead, we round. This is clearly closer to 49 steps, so that's the "obvious" or "patent" choice. The 3-limit patent val is

⟨31 49].

Doing the same thing up through 17, and we get a 17-limit patent val of

⟨31 49 72 87 107 115 127]

To see how to extend from one limit to another, we may look at what to do for 19/1 and use that to go from the 17-limit to the 19-limit.

19/1 = 5097.51 cents, 5097.51 / 38.70967742 cents/step = 131.6857529 steps. Round to get 132. The 19-limit patent val is

⟨31 49 72 87 107 115 127 132]

Note that these are the same answers you would get if you multiplied 31 times ⟨1 1.585 2.322 2.807 3.459 3.700 4.087 4.248] and rounded the result.