音律
音律には以下の用法がある:
- 楽器の音高の関係を決める論理。tuning system。本wikiでは、直訳の調律システムと呼ぶ場合がある。
- temperamentの訳語として。1.の音律の中でも「純正律をどう近似するのか」が発想の根本にあるもの。
概要
音律（英: tuning system, interval system）とは、作曲家にとって理論的に利用可能な音高と音程の集合を提供する、規則やアルゴリズムの集合である。理論的というのは、それが人間の可聴範囲や楽器の制約といったものから独立して定義されるものだということである。しかしそれは楽器が「調律された」状態での基本周波数が何であるか（又そもそもその楽器が理想的に調律された状態というのがどういう音を想定しているのか）という判断を含みうる。
西洋のたいていの音楽家は12平均律のみに親しんでいる。これはオクターブを12等分する。しかしながら、調律システムは無限に存在し、それぞれが異なる音楽的可能性と個性を有する。ゼンハーモニック音楽 (en) は12平均律と異なるすべての種類の調律システムを扱う。
どんな調律システムが有用であるか、またそれらをどう作り出すべきかについては様々な流儀がある。それぞれの視点から異なる作成方法が生み出された。一般的なシステムが純正律、レギュラーテンペラメント、ウェル・テンペラメント、平均律である。その他の調律が歴史的にまた世界中の様々な文化によって使われている。いくつかの例を挙げるとペロッグ、スレンドロ、en:Shruti、マカーム、幅広く変種があったミーントーンである。
Open and closed systems
Gene Ward Smith considered the most basic of distinctions among tuning systems to be between open and closed systems, where a closed system has a finite set of possible musical intervals, and an open system has an infinite set. An example of a closed system would be all 2097151 notes of the MIDI tuning standard. An example of an open system is 12edo, which puts no limit on how high or low the range of tones extends. From a practical point of view MTS is vastly more capable of representing musical intervals than 12edo, and in fact includes it, as in practice only a finite range of 12edo is used. From a theoretical point of view, 12edo has an infinite set of available intervals, since mathematically there is nothing preventing you from calculating frequencies well beyond the range of human hearing (or the ability to produce such frequencies) that are nonetheless related to each other by 12edo semitones.
Another type of open system can be infinite even if its pitches occupy a finite frequency range, because it is defined by a rule for generating successive intervals under which, no matter how many times the generative process is repeated, no new interval is ever identical to a previous interval. An example of this is 3-prime-limit JI, a musical interval system in which intervals are generated by successive combinations of the 2nd and 3rd harmonics. Another example would be any of the golden horagrams of Erv Wilson.
Among open systems, the most important kinds are periodic scales and group systems. The latter refers to "groups" in the mathematical sense of abelian groups, and means that you are always allowed to invert intervals, and that given any two intervals, you may combine them. Examples of group systems are all positive real numbers under multiplication, regarded as frequencies in hertz; all real numbers under addition, regarded as intervals in cents; all positive rational numbers, regarded as intervals from a chosen 1/1; all rational numbers in a given harmonic limit; all intervals in a just intonation subgroup; and all intervals in a regular temperament.