16平均律

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16平均律

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素因数分解	24
音程	75¢
完全五度	9\16 (675¢)
半音比 (A1:m2)	-1:3 (-75¢ : 225¢)
シャープ五度	10\16 (750¢) (→5\8)
フラット五度	9\16 (675¢)
長二度	3\16 (225¢)
一貫限度	7
厳密一貫限度	5

16平均律は正確に75セントで16のパートに、狭いクロマティック半音に分割する。低い整数比の音程はあまり発生しないが、6セントシャープされた7/4と、11セントフラットされた5/4を持つ。4//16は12平均律と同じ短3度の300セントをもち、また12平均律と同じ値の4つのディミニッシュセブンスを持つ。そして同じ大きさの減3和音を持つ。

理論

奇数倍音

16EDOにおける奇数倍音の近似

倍音		3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23
誤差	絶対 (¢)	-27.0	-11.3	+6.2	+21.1	-26.3	-15.5	+36.7	-30.0	+2.5	-20.8	-28.3
	相対 (%)	-35.9	-15.1	+8.2	+28.1	-35.1	-20.7	+49.0	-39.9	+3.3	-27.7	-37.7
ステップ (reduced)		25 (9)	37 (5)	45 (13)	51 (3)	55 (7)	59 (11)	63 (15)	65 (1)	68 (4)	70 (6)	72 (8)

16平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=16, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

EDO	interval	cent	DMS	The "neighborhood" of JI	Japanese name	ratio	diff cent	cent	diff DMS	DMS
16	0	0.00	0.00
	1	75.00	22.50
	2	150.00	45.00	tridecimal 2/3-tone	13リミットの2/3音	13/12	11.43	138.57	3.43	41.57
	2	150.00	45.00	3/4-tone, undecimal neutral second	3/4全音、11リミットの中立的な2度	12/11	-0.64	150.64	-0.19	45.19
	2	150.00	45.00	4/5-tone, Ptolemy's second	4/5全音、プトレマイオスの2度	11/10	-15.00	165.00	-4.50	49.50
	3	225.00	67.50	septimal whole tone	7リミットの全音	8/7	-6.17	231.17	-1.85	69.35
	4	300.00	90.00	tridecimal minor third	13リミットの短3度	13/11	10.79	289.21	3.24	86.76
	4	300.00	90.00	minor third	短3度	6/5	-15.64	315.64	-4.69	94.69
	5	375.00	112.50	tridecimal neutral third	13リミットの中立3度	16/13	15.53	359.47	4.66	107.84
	5	375.00	112.50	major third	長3度	5/4	-11.31	386.31	-3.39	115.89
	6	450.00	135.00	septimal major third, BP third	7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度	9/7	14.92	435.08	4.47	130.53
	6	450.00	135.00	tridecimal semi-diminished fourth	13リミットの準減4度	13/10	-4.21	454.21	-1.26	136.26
	7	525.00	157.50	undecimal augmented fourth	11リミットの増4度	15/11	-11.95	536.95	-3.59	161.09
	8	600.00	180.00	septimal or Huygens' tritone, BP fourth	7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度	7/5	17.49	582.51	5.25	174.75
	8	600.00	180.00	Euler's tritone	レオンハルト・オイラーの3全音	10/7	-17.49	617.49	-5.25	185.25
	9	675.00	202.50
	10	750.00	225.00	septimal minor sixth	7リミットの長6度	14/9	-14.92	764.92	-4.47	229.47
	11	825.00	247.50	major sixth	長6度	8/5	11.31	813.69	3.39	244.11
	11	825.00	247.50	tridecimal neutral sixth	13リミットの中立6度	13/8	-15.53	840.53	-4.66	252.16
	12	900.00	270.00	major sixth, BP sixth	長6度、ボーレン・ピアスの6度	5/3	15.64	884.36	4.69	265.31
	13	975.00	292.50	harmonic seventh	第7倍音	7/4	6.17	968.83	1.85	290.65
	14	1050.00	315.00	21/4-tone, undecimal neutral seventh	21/4全音、11リミットの中立7度	11/6	0.64	1049.36	0.19	314.81
	15	1125.00	337.50
	16	1200.00	360.00

JIへの近似

いくつかの純正音程

以下の表は、16平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。

16平均律内の15奇数リミット音程（直接近似, 一貫性の無いものも含む）

音程と補音程	誤差 (絶対, ¢)	誤差 (相対, %)
1/1, 2/1	0.000	0.0
11/6, 12/11	0.637	0.8
13/10, 20/13	4.214	5.6
7/4, 8/7	6.174	8.2
13/11, 22/13	10.790	14.4
5/4, 8/5	11.314	15.1
13/12, 24/13	11.427	15.2
15/11, 22/15	11.951	15.9
9/7, 14/9	14.916	19.9
11/10, 20/11	15.004	20.0
13/8, 16/13	15.528	20.7
5/3, 6/5	15.641	20.9
7/5, 10/7	17.488	23.3
9/8, 16/9	21.090	28.1
13/7, 14/13	21.702	28.9
15/13, 26/15	22.741	30.3
11/8, 16/11	26.318	35.1
3/2, 4/3	26.955	35.9
11/9, 18/11	27.592	36.8
15/14, 28/15	30.557	40.7
9/5, 10/9	32.404	43.2
11/7, 14/11	32.492	43.3
7/6, 12/7	33.129	44.2
13/9, 18/13	36.618	48.8
15/8, 16/15	36.731	49.0

16平均律内の15奇数リミット音程（パテントヴァルによるマッピング）

音程と補音程	誤差 (絶対, ¢)	誤差 (相対, %)
1/1, 2/1	0.000	0.0
11/6, 12/11	0.637	0.8
13/10, 20/13	4.214	5.6
7/4, 8/7	6.174	8.2
13/11, 22/13	10.790	14.4
5/4, 8/5	11.314	15.1
13/12, 24/13	11.427	15.2
15/11, 22/15	11.951	15.9
11/10, 20/11	15.004	20.0
13/8, 16/13	15.528	20.7
5/3, 6/5	15.641	20.9
7/5, 10/7	17.488	23.3
13/7, 14/13	21.702	28.9
15/13, 26/15	22.741	30.3
11/8, 16/11	26.318	35.1
3/2, 4/3	26.955	35.9
11/9, 18/11	27.592	36.8
11/7, 14/11	32.492	43.3
7/6, 12/7	33.129	44.2
15/8, 16/15	38.269	51.0
13/9, 18/13	38.382	51.2
9/5, 10/9	42.596	56.8
15/14, 28/15	44.443	59.3
9/8, 16/9	53.910	71.9
9/7, 14/9	60.084	80.1

イメージ

16edo wheel 01.png

16音階オクターブ理論

16音階は1/4オクターブをピリオドとして、ディミニッシュドテンペラメントをサポートする。したがってジェネレーターサイズはすべて75セントで、理想より小さい。675セントの3/2はとてもフラットされており、Mavilaテンペラメントをサポートする。メジャーもマイナーもマッピングされたMavilaテンペラメントは、真逆のテンペラメントである。Mavilaテンペラメントは伝統的な300セントの短3度を均等に分割し、150セントの「3/4全音」をもつため人気がある。

16平均律はまた 50/49 をテンパーアウトする7リミットテンペラメントのno-threesチューニングである（No-threes mapping: [<2 0 1 1|, <0 0 1 1|]）。またジェネレーターとして長3度フラットをもっており、516で表される。これにより7と10と13のサイズをもつMOS音階となり、また本ページ下部の「マジック音階類」で表される。

Easley Blackwoodが以下を書いた：

16音：このチューニングは、4つの音からなるディミニッシュセブンスのコンビネーションとみなすのが最もよいと考えられる。なぜなら12平均の音とは、3つのディミニッシュセブンスのコンビネーションと見なすことができるので、2つのチューニングに要素が共通にあることは明らかなためである。2つのチューニングの音色および（work）機能の最も明白な差は、16平均律のトライアドである。認識可能ではあるけど、それはカデンツの終始音としてのハーモニーとして、あまりに不協和過ぎる。キーは、まだオルタードサブドミナントとドミナントハーモニーを継承し成り立っており、エチュードは主にこの特性にもとづいている。使用されている基本的な協和音の響きは、マイナーセブンスが加えられた短3和音である。

もう1つの興味深いアプローチは2つの8平均律（狭い12/11中立2度をもつ）を折り合わせたものとして解釈することである。16平均律は2つの長7度をもつ。1316の、周波数比7/4に近い、6.174セントシャープされたハーモニックセブンスと、11リミットの11/6または中立7度である。11/6は長7度として16番目のMavilaにマッピングされる。もし19倍音の近似（19/16は297.5セント）として300セントの短3度を取るなら、ハーモニックセブンス（7/4）の近似であるもう1つの倍音を加え16:19:28のトライアドを形作る。

28倍音と19倍音の間にある音程、28:19は671.3セントと計算できるが、それは3.7セント16平均律の「狭い5度」から離れている。このもう一つのコードボイシングは、外側の音程として19:14（528.7セント。16平均律では525.0セント）の特徴をもつ14:16:19である。おそらくより協和するオープンボイシングは7:16:19だろう。

16音階記譜法

16平均律記譜法は簡単に、キー、名前、それぞれの記譜法に関してゴールドスミスの円を利用できる。6線譜のための名前はWilsonのBetaとEpsilonをAからGに加えたものに切り替えることができる。イタリアのArmodueは16平均律のために4線譜を使っている。

16平均律のダイアトニックスケールは、25セント上がったスーパーフォース（superfourth）と、25セント引かれた5度の近似が結合しているため、不協和であり、「チラチラ光る」。音階は4ステップサイズを要求する16平均律のハーモニックマイナースケールに似ている。

Mavila[7]のようなMOS音階（または「逆ダイアトニック」（Inverse/Anti-Diatonic）と呼ばれるダイアトニックのステップサイズを逆にしたもの。ヘプタトニックバージョンの場合、LLsLLLsからssLsssLにする）は、伝統的なダイアトニックの代わりとして機能する。16平均律の6線譜、Mavila-[9]譜はまさにこれであり、9つの一般的な白鍵にアレンジされた上で（222122221）配置することができる。23平均律キーボードもまたMavila-[9]の6線譜で機能し、16平均律の1/3音として記譜できる。もし9音MOS音階（Nonatonic）を16平均律に適合させるなら、そのときたぶんオクターブを2/1とみなすことに頷ける。この時デカーブ（Decave）と呼ぶのかもしれない（7音音階でオクターブ（8音）になるのだから）。

Paul Erlichが以下を書いた

　慣習的な12平均律ダイアトニックやペンタトニック（ミーントーン）スケールのようなものは、フォッカー（Fokker）の周期的ブロックからうまれた、ユニゾンベクトルのテンパーアウトから上げられている。16平均律だけ、ユニゾンベクトルは81:80の代わりに135:128である。

ランク2テンペラメント

悪い16ETランク2テンペラメントのリスト

Periods per octave	Generator	Temperaments
1	1\16	Valentine, slurpee
1	3\16	Gorgo
1	5\16	Messed-up magic/muggles
1	7\16	Mavila/armodue
2	1\16	Bipelog
2	3\16	Lemba, astrology
4	1\16	Diminished/demolished
8	1\16

Mavila

[5]:	5 2 5 2 2
[7]:	3 2 2 3 2 2 2	ファイル:MavilaAntidiatonic16edo.mp3
[9]:	1 2 2 2 1 2 2 2 2	ファイル:MavilaSuperdiatonic16edo.mp3

Diminished

[8]: 1 3 1 3 1 3 1 3

[12]: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

Magic

[7]: 1 4 1 4 1 4 1

[10]: 1 3 1 1 3 1 1 1 3 1

[13]: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

Cynder/Gorgo

[5]: 3 3 4 3 3

[6]: 3 3 1 3 3 3

[11]: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Lemba

[6]: 3 2 3 3 2 3

[10]: 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

Igliashon Jonesが以下を書いた

16平均律の問題は、長3度と4度の間、同様に4度と5度（例えば12//11の近く）に距離があるという事実である。これは135/128（16/15と9/8の間の差）をテンパーアウトすることを意味する。

16平均律におけるMavila/Armodueの調和

16平均律が全く3/2に近くないため、3和音の響きは3度重ねを基本的には使用しない。しかしながら、3和音の響きは3度というよりむしろ7度にある。例えば16平均律では、通常3/2を使うところ、代わりに7/4で使えるほど十分に近い。3和音はもう1つのセブンスを加えることで構築される。非対称性のセブンス3和音のため、2つの可能性を生み出す。小さな一つ目は、0-975-1050のハード（hard）と呼ばれるものであり、もう一つの大きい方は0-1050-975のソフト（soft）と呼ばれるものである。2つの対照的な3和音0-975-975と0-1050-1050はまた、明らかにコードの可能性がある。それらの特徴はメタリックトライアド（Metallic triads）と名付けられた金属的な音がすることである。

MOSはメタリックハーモニーをサポートする

Mavila[7]は音程1と4の上に2つのハード3和音をもつ。また、音程2と6の上に2つのソフト3和音を持つ。他の3つのコードは幅広い対照的な0-1050-1050の3和音である。Mavila[9]はWilson音階が新たに2つのハード3和音を作成する一方、新たに2つのソフト3和音を生成する。

Metallic Harmonyも参照のこと。

コンマをなだらかにする

16平均律のヴァルを ⟨16 25 37 45 55 59] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma	Monzo	Value (Cents)	Name 1	Name 2	Name 3
135/128	| -7 3 1 >	92.18	Major Chroma	Major Limma	Pelogic Comma
648/625	| 3 4 -4 >	62.57	Major Diesis	Diminished Comma
3125/3072	| -10 -1 5 >	29.61	Small Diesis	Magic Comma
1212717/1210381	| 23 6 -14 >	3.34	Vishnuzma	Semisuper
36/35	| 2 2 -1 -1 >	48.77	Septimal Quarter Tone
525/512	| -9 1 2 1 >	43.41	Avicennma	Avicenna's Enharmonic Diesis
50/49	| 1 0 2 -2 >	34.98	Tritonic Diesis	Jubilisma
64827/64000	| -9 3 -3 4 >	22.23	Squalentine
3125/3087	| 0 -2 5 -3 >	21.18	Gariboh
126/125	| 1 2 -3 1 >	13.79	Septimal Semicomma	Starling Comma
1029/1024	| -10 1 0 3 >	8.43	Gamelisma
6144/6125	| 11 1 -3 -2 >	5.36	Porwell
121/120	| -3 -1 -1 0 2 >	14.37	Biyatisma
176/175	| 4 0 -2 -1 1 >	9.86	Valinorsma
385/384	| -7 -1 1 1 1 >	4.50	Keenanisma
441/440	| -3 2 -1 2 -1 >	3.93	Werckisma
3025/3024	| -4 -3 2 -1 2 >	0.57	Lehmerisma

Armodue理論（4線譜）

Armodue：16音（esadekaphonic）システムのためのイタリアページ。作曲法も含んでいる。翻訳したものはここを参照。

本/文献

Sword, Ronald. "Thesaurus of Melodic Patterns and Intervals for 16-Tones" IAAA Press, USA. First Ed: August, 2011

Sword, Ronald. "Hexadecaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: Feb, 2010. (superfourth tuning)

Sword, Ronald. "Esadekaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: April, 2009. (semi-diminished fourth tuning)

作品

Prenestyna Highway by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale

Enantiodromia (album) by Last Sacrament

Tribute to Armodue by Aeterna

Etude in 16-tone equal tuning play (organ version) by Herman Miller

16-tone steel string acoustic diddle by Ron Sword

Armodue78 by Jean-Pierre Poulin

Palestrina Morta, fantasia quasi una sonata by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale

Comets Over Flatland 5 by Randy Winchester

Malathion by Chris Vaisvil

Being of Vesta by Chris Vaisvil

Thin Ice by Chris Vaisvil ; information on the composition

Mavila Jazz Groove by William Lynch

Cold, Dark Night for a Dance by William Lynch