8平均律
理論
8 平均律は奇数と偶数のピッチセットを組み合わせることで、不協和を生み出すコンビネーションとなる。それぞれ 2 つのディミニッシュセブンスコード、0cent・300cent・600cent・900cent の dim7 となる。そのシステムは‟barbaric”(粗野な)として述べられたハーモニックシステムである。だとしても、それは純正調のサブグループ 2.11/3.13/5 であるよい表現を行う。13/10 のよい音程と 11/6 のきわめてよいバージョンとともに。
8 平均律のほかの見方として、0-1-2-3-4 の音高(degree)、すなわち 0-150-300-450-600セントのコードを 10:11:12:13:14(~0-165-316-454-583 セント)の近似調和として扱うことである。ずれはあるものの、もし 12 平均律を 5 リミットテンペラメントとしてみなすならば、そのように受け取ることが可能である。この解釈は 121/120、144/143、169/168、そして 36/35 と 66/65 もまた、tempered out(周波数比を消し、1 と解釈する手法)だということをほのめかすだろう。
奇数倍音
| 倍音 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | +48.0 | +63.7 | -68.8 | -53.9 | +48.7 | +59.5 | -38.3 | +45.0 | +2.5 | -20.8 | -28.3 |
| 相対 (%) | +32.0 | +42.5 | -45.9 | -35.9 | +32.5 | +39.6 | -25.5 | +30.0 | +1.7 | -13.9 | -18.8 | |
| ステップ (reduced) |
13 (5) |
19 (3) |
22 (6) |
25 (1) |
28 (4) |
30 (6) |
31 (7) |
33 (1) |
34 (2) |
35 (3) |
36 (4) | |
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、8平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 11/6, 12/11 | 0.637 | 0.4 |
| 13/10, 20/13 | 4.214 | 2.8 |
| 13/11, 22/13 | 10.790 | 7.2 |
| 13/12, 24/13 | 11.427 | 7.6 |
| 9/7, 14/9 | 14.916 | 9.9 |
| 11/10, 20/11 | 15.004 | 10.0 |
| 5/3, 6/5 | 15.641 | 10.4 |
| 7/5, 10/7 | 17.488 | 11.7 |
| 13/7, 14/13 | 21.702 | 14.5 |
| 15/14, 28/15 | 30.557 | 20.4 |
| 9/5, 10/9 | 32.404 | 21.6 |
| 11/7, 14/11 | 32.492 | 21.7 |
| 7/6, 12/7 | 33.129 | 22.1 |
| 13/9, 18/13 | 36.618 | 24.4 |
| 15/8, 16/15 | 38.269 | 25.5 |
| 11/9, 18/11 | 47.408 | 31.6 |
| 3/2, 4/3 | 48.045 | 32.0 |
| 11/8, 16/11 | 48.682 | 32.5 |
| 15/13, 26/15 | 52.259 | 34.8 |
| 9/8, 16/9 | 53.910 | 35.9 |
| 13/8, 16/13 | 59.472 | 39.6 |
| 15/11, 22/15 | 63.049 | 42.0 |
| 5/4, 8/5 | 63.686 | 42.5 |
| 7/4, 8/7 | 68.826 | 45.9 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 11/6, 12/11 | 0.637 | 0.4 |
| 13/10, 20/13 | 4.214 | 2.8 |
| 13/11, 22/13 | 10.790 | 7.2 |
| 13/12, 24/13 | 11.427 | 7.6 |
| 11/10, 20/11 | 15.004 | 10.0 |
| 5/3, 6/5 | 15.641 | 10.4 |
| 9/5, 10/9 | 32.404 | 21.6 |
| 13/9, 18/13 | 36.618 | 24.4 |
| 11/9, 18/11 | 47.408 | 31.6 |
| 3/2, 4/3 | 48.045 | 32.0 |
| 11/8, 16/11 | 48.682 | 32.5 |
| 15/13, 26/15 | 52.259 | 34.8 |
| 13/8, 16/13 | 59.472 | 39.6 |
| 15/11, 22/15 | 63.049 | 42.0 |
| 5/4, 8/5 | 63.686 | 42.5 |
| 7/4, 8/7 | 68.826 | 45.9 |
| 9/8, 16/9 | 96.090 | 64.1 |
| 15/8, 16/15 | 111.731 | 74.5 |
| 7/6, 12/7 | 116.871 | 77.9 |
| 11/7, 14/11 | 117.508 | 78.3 |
| 13/7, 14/13 | 128.298 | 85.5 |
| 7/5, 10/7 | 132.512 | 88.3 |
| 9/7, 14/9 | 164.916 | 109.9 |
| 15/14, 28/15 | 180.557 | 120.4 |
8 平均律の音程と近似値
英語版Xenharmonic wikiで示されている音程と、各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。英語版で示されているものは主に、特徴的な音程と近似純正音程である。近似純正音程は各パラメータの数を上げればほぼ無限に生成される。その点原文の近似純正音程は適度に各パラメータが下げられているため、まとめることには大きな意義があると考えられる。
各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は、edjirulerのパラメータを、[number of equal divisions=8, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.16]にして生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら(huygens-fokker)を参照のこと。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
| 8 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 150.00 | 45.00 | 2/3-tone | 2/3全音 | 14/13 | 21.70 | 128.30 | 6.51 | 38.49 | |
| 1 | 150.00 | 45.00 | tridecimal 2/3-tone | 13リミットの2/3音 | 13/12 | 11.43 | 138.57 | 3.43 | 41.57 | |
| 1 | 150.00 | 45.00 | 3/4-tone, undecimal neutral second | 3/4全音、11リミットの中立的な2度 | 12/11 | -0.78 | 150.78 | -0.23 | 45.23 | |
| 1 | 150.00 | 45.00 | 4/5-tone, Ptolemy's second | 4/5全音、プトレマイオスの2度 | 11/10 | -15.00 | 165.00 | -4.50 | 49.50 | |
| 2 | 300.00 | 90.00 | tridecimal minor third | 13リミットの短3度 | 13/11 | 10.82 | 289.18 | 3.25 | 86.75 | |
| 2 | 300.00 | 90.00 | minor third | 短3度 | 6/5 | -15.64 | 315.64 | -4.69 | 94.69 | |
| 3 | 450.00 | 135.00 | septimal major third, BP third | 7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度 | 9/7 | 14.90 | 435.10 | 4.47 | 130.53 | |
| 3 | 450.00 | 135.00 | tridecimal semi-diminished fourth | 13リミットの準減4度 | 13/10 | -4.21 | 454.21 | -1.26 | 136.26 | |
| 4 | 600.00 | 180.00 | septimal or Huygens' tritone, BP fourth | 7リミットまたはホイヘンスの3全音、ボーレン・ピアスの4度 | 7/5 | 17.49 | 582.51 | 5.25 | 174.75 | |
| 4 | 600.00 | 180.00 | Euler's tritone | レオンハルト・オイラーの3全音 | 10/7 | -17.49 | 617.49 | -5.25 | 185.25 | |
| 5 | 750.00 | 225.00 | septimal minor sixth | 7リミットの長6度 | 14/9 | -14.92 | 764.92 | -4.47 | 229.47 | |
| 6 | 900.00 | 270.00 | major sixth, BP sixth | 長6度、ボーレン・ピアスの6度 | 5/3 | 15.64 | 884.36 | 4.69 | 265.31 | |
| 7 | 1050.00 | 315.00 | 21/4-tone, undecimal neutral seventh | 21/4全音、11リミットの中立7度 | 11/6 | 0.67 | 1049.33 | 0.20 | 314.80 | |
| 7 | 1050.00 | 315.00 | 16/3-tone | 16/3全音 | 13/7 | -21.57 | 1071.57 | -6.47 | 321.47 | |
| 8 | 1200.00 | 360.00 |
近似純正音程名のリミットとは、純正音程の周波数比に含まれる最大の素数を示す。
追加で見ておくべきもの
8 音音階―基本的に全音と半音が交互に組み合わされる音階
コンマをなだらかにする
8平均律のヴァルを ⟨8 13 19 22 28 30] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
| Comma | Monzo | Cents | Name 1 | Name 2 | Name 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 648/625 | | 3 4 -4 > | 62.57 | Major Diesis | Diminished Comma | |
| 250/243 | | 1 -5 3 > | 49.17 | Maximal Diesis | Porcupine Comma | |
| 78732/78125 | | 2 9 -7 > | 13.40 | Medium Semicomma | Sensipent Comma | |
| 64/63 | | 6 -2 0 -1 > | 27.26 | Septimal Comma | Archytas' Comma | Leipziger Komma |
| 875/864 | | -5 -3 3 1 > | 21.90 | Keema | ||
| 321489/320000 | | -9 8 -4 2 > | 8.04 | Varunisma | ||
| 6144/6125 | | 11 1 -3 -2 > | 5.36 | Porwell | ||
| 100/99 | | 2 -2 2 0 -1 > | 17.40 | Ptolemisma | ||
| 121/120 | | -3 -1 -1 0 2 > | 14.37 | Biyatisma | ||
| 176/175 | | 4 0 -2 -1 1 > | 9.86 | Valinorsma | ||
| 65536/65219 | | 16 0 0 -2 -3 > | 8.39 | Orgonisma | ||
| 385/384 | | -7 -1 1 1 1 > | 4.50 | Keenanisma | ||
| 4000/3993 | | 5 -1 3 0 -3 > | 3.03 | Wizardharry |