9平均律
| ← 8平均律 | 9平均律 | 10平均律 → |
9 平均律音階は、オクターブを 9 つに均等分割したものであり、最小の音程は正確に133+1/3cent である。この音程は、7 リミット(7-limit)音程の一部をほとんど正確に表現する、という奇妙な特徴を持つ。9 平均律の 7 リミットからみた見解は、以下のようになる。
1: 27/25 133.238 large limma, BP small semitone
2: 7/6 266.871 septimal minor third
3: 63/50 400.108 quasi-equal major third
4: 49/36 533.742 Arabic lute acute fourth
5: 72/49 666.258 Arabic lute grave fifth
6: 100/63 799.892 quasi-equal minor sixth
7: 12/7 933.129 septimal major sixth
8: 50/27 1066.762 grave major seventh
9: 2/1 1200.000 octave
これらの音程は“9 平均律の音程と近似値”でまとめている。ここの特性評価は、Scalaから得たものである。Scala はまた、音階そのものが、「Pelog Nawanada: Sunda」(1 1 1 1 1 1 1 1 1、huygens-fokker, List of musical modes)であると述べている。それゆえ 1/1 – 7/6 – 49/36 – 12/7 といったコードなどは、9 平均律にとって自然的である。上記の音階は純正音程の子グループ2.27/25.7/3 を生成し、9 平均律と密接な関係がある。
9 平均律はペンタトニック MOS scale(Large と Small の 2 つの音程を積み重ねることで成る音階で、period とよばれる音程幅、通常は 2 を形成する音階)―2L 3s(1 3 1 3 1,Large scale step size and small)を含む。7 音音階の拡大された—2L 5s(1 1 2 1 1 2 1, ときどきそれは「mavila」や「antidiatonic」と呼ばれる)とともに。インドネシアの「pelog scales」(ガムラン音楽の音階の 1 つ)は時々、類似した状況で 7 音スーパーセットの 5 音サブセットを使用する。そしてそれは 9 平均律の伝統から、インドネシアのガムラン音楽が生じることを意味するのである。
理論
奇数倍音
| 倍音 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | -35.3 | +13.7 | -35.5 | +62.8 | -18.0 | -40.5 | -21.6 | +28.4 | -30.8 | +62.6 | +38.4 |
| 相対 (%) | -26.5 | +10.3 | -26.6 | +47.1 | -13.5 | -30.4 | -16.2 | +21.3 | -23.1 | +46.9 | +28.8 | |
| ステップ (reduced) |
14 (5) |
21 (3) |
25 (7) |
29 (2) |
31 (4) |
33 (6) |
35 (8) |
37 (1) |
38 (2) |
40 (4) |
41 (5) | |
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、9平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 7/6, 12/7 | 0.204 | 0.2 |
| 15/11, 22/15 | 3.617 | 2.7 |
| 13/7, 14/13 | 5.035 | 3.8 |
| 13/12, 24/13 | 5.239 | 3.9 |
| 5/4, 8/5 | 13.686 | 10.3 |
| 15/14, 28/15 | 13.891 | 10.4 |
| 11/6, 12/11 | 17.304 | 13.0 |
| 11/7, 14/11 | 17.508 | 13.1 |
| 11/8, 16/11 | 17.985 | 13.5 |
| 15/13, 26/15 | 18.926 | 14.2 |
| 15/8, 16/15 | 21.602 | 16.2 |
| 13/11, 22/13 | 22.543 | 16.9 |
| 13/9, 18/13 | 30.049 | 22.5 |
| 11/10, 20/11 | 31.671 | 23.8 |
| 9/7, 14/9 | 35.084 | 26.3 |
| 3/2, 4/3 | 35.288 | 26.5 |
| 7/4, 8/7 | 35.493 | 26.6 |
| 13/8, 16/13 | 40.528 | 30.4 |
| 5/3, 6/5 | 48.975 | 36.7 |
| 9/5, 10/9 | 49.070 | 36.8 |
| 7/5, 10/7 | 49.179 | 36.9 |
| 11/9, 18/11 | 52.592 | 39.4 |
| 13/10, 20/13 | 54.214 | 40.7 |
| 9/8, 16/9 | 62.757 | 47.1 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 7/6, 12/7 | 0.204 | 0.2 |
| 15/11, 22/15 | 3.617 | 2.7 |
| 13/7, 14/13 | 5.035 | 3.8 |
| 13/12, 24/13 | 5.239 | 3.9 |
| 5/4, 8/5 | 13.686 | 10.3 |
| 15/14, 28/15 | 13.891 | 10.4 |
| 11/6, 12/11 | 17.304 | 13.0 |
| 11/7, 14/11 | 17.508 | 13.1 |
| 11/8, 16/11 | 17.985 | 13.5 |
| 15/13, 26/15 | 18.926 | 14.2 |
| 15/8, 16/15 | 21.602 | 16.2 |
| 13/11, 22/13 | 22.543 | 16.9 |
| 13/9, 18/13 | 30.049 | 22.5 |
| 11/10, 20/11 | 31.671 | 23.8 |
| 9/7, 14/9 | 35.084 | 26.3 |
| 3/2, 4/3 | 35.288 | 26.5 |
| 7/4, 8/7 | 35.493 | 26.6 |
| 13/8, 16/13 | 40.528 | 30.4 |
| 5/3, 6/5 | 48.975 | 36.7 |
| 7/5, 10/7 | 49.179 | 36.9 |
| 11/9, 18/11 | 52.592 | 39.4 |
| 13/10, 20/13 | 54.214 | 40.7 |
| 9/8, 16/9 | 70.577 | 52.9 |
| 9/5, 10/9 | 84.263 | 63.2 |
9平均律の音程と近似値
「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら(huygens-fokker)を参照のこと。このリストは原文で紹介されている音程をまとめたものである。紹介されているものは主に、特徴的な音程と近似純正音程である。近似純正音程は各パラメータの数を上げればほぼ無限に生成される。その点原文の近似純正音程は適度に各パラメータが下げられているため、まとめることには大きな意義があると考えられる。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
| 9 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 133.33 | 40.00 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | 13.89 | 119.44 | 4.17 | 35.83 | |
| 1 | 133.33 | 40.00 | lesser tridecimal 2/3-tone | 小さい十三限界の二三分音 | 14/13 | 5.04 | 128.30 | 1.51 | 38.49 | |
| 1 | 133.33 | 40.00 | large limma, 2/3-tone, BP small semitone | 大リンマ、二三分音、ボーレン・ピアスの小半音 | 27/25 | 0.10 | 133.24 | 0.03 | 39.97 | |
| 1 | 133.33 | 40.00 | greater tridecimal 2/3-tone | 大きい十三限界の二三分音 | 13/12 | -5.24 | 138.57 | -1.57 | 41.57 | |
| 1 | 133.33 | 40.00 | 3/4-tone, undecimal neutral second | 三四分音、11限界の中立2度 | 12/11 | -17.30 | 150.64 | -5.19 | 45.19 | |
| 1 | 133.33 | 40.00 | 4/5-tone, Ptolemy's second | 四五分音、プトレマイオスの2度 | 11/10 | -31.67 | 165.00 | -9.50 | 49.50 | |
| 2 | 266.67 | 80.00 | tridecimal 5/4-tone | 13リミットの5/4全音 | 15/13 | 18.93 | 247.74 | 5.68 | 74.32 | |
| 2 | 266.67 | 80.00 | septimal minor third | ７リミットの短3度 | 7/6 | -0.20 | 266.87 | -0.06 | 80.06 | |
| 2 | 266.67 | 80.00 | tridecimal minor third | 13リミットの短3度 | 13/11 | -22.54 | 289.21 | -6.76 | 86.76 | |
| 3 | 400.00 | 120.00 | major third | 長3度 | 5/4 | 13.69 | 386.31 | 4.11 | 115.89 | |
| 3 | 400.00 | 120.00 | quasi-equal major third | 擬似平均律長3度 | 63/50 | -0.11 | 400.11 | -0.03 | 120.03 | |
| 3 | 400.00 | 120.00 | undecimal diminished fourth or major third | 11リミットの減4度または長3度 | 14/11 | -17.51 | 417.51 | -5.25 | 125.25 | |
| 4 | 533.33 | 160.00 | Arabic lute acute fourth | アラブリュートの尖鋭4度 | 49/36 | -0.41 | 533.74 | -0.12 | 160.12 | |
| 4 | 533.33 | 160.00 | undecimal augmented fourth | 11リミットの増4度 | 15/11 | -3.62 | 536.95 | -1.09 | 161.09 | |
| 4 | 533.33 | 160.00 | undecimal semi-augmented fourth | 11リミットの準増4度 | 11/8 | -17.98 | 551.32 | -5.40 | 165.40 | |
| 5 | 666.67 | 200.00 | tridecimal diminished fifth | 13リミットの減5度 | 13/9 | 30.05 | 636.62 | 9.01 | 190.99 | |
| 5 | 666.67 | 200.00 | undecimal semi-diminished fifth | 11リミットの準減5度 | 16/11 | 17.98 | 648.68 | 5.40 | 194.60 | |
| 5 | 666.67 | 200.00 | Arabic lute grave fifth | アラブリュートのある荘重5度 | 72/49 | 0.41 | 666.26 | 0.12 | 199.88 | |
| 6 | 800.00 | 240.00 | undecimal augmented fifth | 11リミットの増5度 | 11/7 | 17.51 | 782.49 | 5.25 | 234.75 | |
| 6 | 800.00 | 240.00 | quasi-equal minor sixth | 擬似平均律短6度 | 100/63 | 0.11 | 799.89 | 0.03 | 239.97 | |
| 6 | 800.00 | 240.00 | minor sixth | 短6度 | 8/5 | -13.69 | 813.69 | -4.11 | 244.11 | |
| 7 | 933.33 | 280.00 | septimal major sixth | ７リミットの長6度 | 12/7 | 0.20 | 933.13 | 0.06 | 279.94 | |
| 8 | 1066.67 | 320.00 | 21/4-tone, undecimal neutral seventh | 21/4全音、11リミットの中立7度 | 11/6 | 17.30 | 1049.36 | 5.19 | 314.81 | |
| 8 | 1066.67 | 320.00 | grave major seventh | 荘重な長7度 | 50/27 | -0.10 | 1066.76 | -0.03 | 320.03 | |
| 8 | 1066.67 | 320.00 | 16/3-tone | 16/3全音 | 13/7 | -5.04 | 1071.70 | -1.51 | 321.51 | |
| 9 | 1200.00 | 360.00 |
イメージ
なだらかにするコンマ
9 平均律のヴァルを ⟨9 14 21 25 31 33] とすると、次のリストのコンマを緩和する。
| Comma | Monzo | Value (Cents) | Name 1 | Name 2 | Name 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 135/128 | | -7 3 1 > | 92.18 | Major Chroma | Major Limma | Pelogic Comma |
| 16875/16384 | | -14 3 4 > | 51.12 | Negri Comma | Double Augmentation Diesis | |
| 128/125 | | 7 0 -3 > | 41.06 | Diesis | Augmented Comma | |
| 2109375/2097152 | | -21 3 7 > | 10.06 | Semicomma | Fokker Comma | |
| 36/35 | | 2 2 -1 -1 > | 48.77 | Septimal Quarter Tone | ||
| 525/512 | | -9 1 2 1 > | 43.41 | Avicennma | Avicenna's Enharmonic Diesis | |
| 49/48 | | -4 -1 0 2 > | 35.70 | Slendro Diesis | ||
| 686/675 | | 1 -3 -2 3 > | 27.99 | Senga | ||
| 2430/2401 | | 1 5 1 -4 > | 20.79 | Nuwell | ||
| 1728/1715 | | 6 3 -1 -3 > | 13.07 | Orwellisma | Orwell Comma | |
| 225/224 | | -5 2 2 -1 > | 7.71 | Septimal Kleisma | Marvel Comma | |
| 6144/6125 | | 11 1 -3 -2 > | 5.36 | Porwell | ||
| 65625/65536 | | -16 1 5 1 > | 2.35 | Horwell | ||
| 99/98 | | -1 2 0 -2 1 > | 17.58 | Mothwellsma | ||
| 121/120 | | -3 -1 -1 0 2 > | 14.37 | Biyatisma | ||
| 176/175 | | 4 0 -2 -1 1 > | 9.86 | Valinorsma | ||
| 385/384 | | -7 -1 1 1 1 > | 4.50 | Keenanisma | ||
| 540/539 | | 2 3 1 -2 -1 > | 3.21 | Swetisma | ||
| 91/90 | | -1 -2 -1 1 0 1 > | 19.13 | Superleap | ||
| 676/675 | | 2 -3 -2 0 0 2 > | 2.56 | Parizeksma |