ジェネレーターとピリオド

ジェネレーターとピリオド:

• MOSスケールの場合、無限に積み重なって周期的スケール（periodic scale）の周期を構成するのがピリオド、有限回積み重なってスケールの音をすべてカバーするのがジェネレーター。
• レギュラーテンペラメントの場合、テンペラメントが出力するテンパード音程は階数と同じ数のジェネレーターの組み合わせとして表現されるが、便宜上その中の最初のジェネレーター（マッピングの1行目を担当する）をピリオドと呼ぶ。

ジェネレーターのイントロダクション

ジェネレーター（generator）またはジェネレートインターバル（generating interval）は、音階やEDO、テンペラメントの構造を作る、繰り返し積み重ねられた音程のことである。積み重ねの結果得られる連鎖は、しばしばジェネレーターチェーン（generator chain）と呼ばれる。最初は抽象的に感じるかもしれないが、ジェネレーターチェーンはとても分かりやすいものである。そしてこの考え方は、レギュラーテンペラメントの理論を直感的に理解するために重要である。

Equal Temperaments

ジェネレーターチェーンの最も簡潔で直感的な例は、慣れ親しんだ12平均律のような平均律（ET）である。ETにおいて、オクターブをさらに分割していてもいなくても、それがトリターブでも他のものでも、それは単一のジェネレーターチェーンそのものなのである。たとえば、12平均律は 100 セントが上下に際限なく積み重ねられている。同様に、5平均律は 240 セント音程のジェネレーターチェーンを作ることによって生成されている。ジェネレーターチェーン1本でテンペラメント全体となっている。ボーレン・ピアス音階と呼ばれる周波数3を均等に13分割する（13EDT）ノンオクターブETもまた、ひとつのジェネレートインターバル（約146セント）で形作られる。

ETの各ピッチは、そのジェネレーターの積み重ね（周波数でいうと積）として表される。それゆえジェネレーターは「素音程」（prime interval）としてテンペラメントに従事する。その他の全ての音程は「複合物」（composite）である。これは標識となる音程、分割されるEDOのオクターブやEDTのトリターブもそうである――2/1だろうと「複合物」なのだ。

他にも、一般的に"ET"とは考えられていない、単一のジェネレーターチェーンで形作られるテンペラメントがある。一つの例として、純正ピタゴラス5度（正確に3/2（702セント）でチューニングされている）によるチェーンは、(...) ← -702 ← 0 → 702 → 1404 → 2106 → 2808 → 3510 → (...)のように表される。ダイアトニックノーテーションを使うとき、これは(...) = F = C = G = D = A = E = B = (...)というように表される。しかし各音の音高は、12平均律からわずかに異なることを書きとどめられておくべきである。

上記の例で示したように、7つの連続した音は、慣れ親しんだダイアトニックスケールのピッチを生み出す。しかしながら、もしピタゴラスの5度のチェーンにこだわるなら、これらのピッチは5度の積み重ねとともにずれてゆく――各オクターブの基音から生えたLLsLLLsダイアトニックスケールパターンと食い違う。もしこのチェーンの単音程化された音（LLsLLLs）がほしいならば、1200セントを基準に動けるようにする必要がある。1200セントはピタゴラスの5度圏に存在せず、新しい「素数音程」として圏を作る必要がある。つまりオクターブのセカンドジェネレーターチェーンを作る。

ピリオドのイントロダクション

上記の例のような場合、2番目の素数音程として周波数比2に加えることは、ピタゴラスの5度圏をピタゴラスのダイアトニックスケールに変換し、自由な音程を加えることを意味する。この操作はとても些細なことで、単純に7つの連続したチェーンから外れた5度を選び、オクターブへ向かう各音を減少させる。この場合、0 = 204 = 408 = 498 = 702 = 906 = 1110セントを得ることになり、ダイアトニックノーテーションで書くときはC-D-E-F-G-A-Bと書き表される。

もし望むなら、新しいオクターブジェネレーターチェーンに沿ってこのパターンの結果を得て、新しいオクターブが現れるたびにコピーアンドペーストして、無限に並べることができる。もしそうするなら、無限に表れる周期的な音階(...) - C0 - D0 - E0 - F0 - G0 - A0 - B0 - C1 - D1 - E1 - F1 - G1 - A1 - B1 - C2 - (...)を得る。このケースでは、繰り返される音階のジェネレーターは「ピリオド」（period）という特別な名前で呼ばれる。

上記の例では、ピタゴラスのダイアトニックスケールは3/2と2/1の2つの異なった音程で生成されおり、2/1がピリオドである。

フラクタルオクターブピリオド

オクターブではないピリオドスケールを構築する可能性がある。最も一般的な音階はオクターブを分割するピリオドの音階であるが、しばしば12音チューニング音楽理論の中で「シンメトリックスケール」（symmetric scales）と呼ばれる。

フラクタルオクターブピリオドをもつ一般的な音階の例として、12音チューニングのC Db D# E F# G A Bb Cをもつ、ディミニッシュド、またはオクタトニック音階である。12音チは0 - 100 - 300 - 400 - 600 - 700 - 900 - 1000 – 1200セントと考えられるけども。この音階を構築するために、また100セントのジェネレーターチェーンとみなすために、2音をやめ、次のミニチェーンを生み出す。

0 = 100 (or C - C#)

もしオクターブにこの音階を並べるならば、次の奇妙な2音ピリオドスケールにたどり着く。

(...) = -1200 = -1100 = 0 = 100 = 1200 = 1300 = 2400 = 2500 = (...) (or ...-C0-Db0-C1-Db1-C2-Db2-...)

しかしながら、1/4オクターブに音階を並べる代わりに300セントをピリオドとするならば、次のスケールにたどり着く。

(...) = 0 = 100 = 300 = 400 = 600 = 700 = 900 = 1000 = 1200 = (...)

上記の例において、300セントは100セント自身から生成される。この意味は、正確に言うなら、2番目の「素数」ジェネレーターインターバルではない。単純さのための100セントジェネレーターの選択は、この音階のためのすべてのチューニングにおいて適用されるわけではない。たとえば、もし100セントのかわりに91セントのジェネレーターを使うとき、300セントのピリオドはもはや3つの積み重ねられたジェネレーターでは構成されない。