ジェネレーターとピリオド

ジェネレーターとピリオド:

• MOSスケールの場合、無限に積み重なって周期的スケール（periodic scale）の周期を構成するのがピリオド、有限回積み重なってスケールの音をすべてカバーするのがジェネレーター。
• レギュラーテンペラメントの場合、テンペラメントが出力するテンパード音程は階数と同じ数のジェネレーターの組み合わせとして表現されるが、便宜上その中の最初のジェネレーター（マッピングの1行目を担当する）をピリオドと呼ぶ。

ジェネレーターのイントロダクション

ジェネレーター（generator）またはジェネレートインターバル（generating interval）は、音階やEDO、テンペラメントの構造を作る、繰り返し積み重ねられた音程のことである。積み重ねの結果得られる連鎖は、しばしばジェネレーターチェーン（generator chain）と呼ばれる。最初は抽象的に感じるかもしれないが、ジェネレーターチェーンはとても分かりやすいものである。そしてこの考え方は、レギュラーテンペラメントの理論を直感的に理解するために重要である。

Equal Temperaments

ジェネレーターチェーンの最も簡潔で直感的な例は、慣れ親しんだ12平均律のような平均律（ET）である。ETにおいて、オクターブをさらに分割していてもいなくても、それがトリターブでも他のものでも、それは単一のジェネレーターチェーンそのものである。たとえば、12平均律は 100 セントが上下に際限なく積み重ねられている。同様に、5平均律は 240 セント音程のジェネレーターチェーンを作ることによって生成されている。ジェネレーターチェーン1本でテンペラメント全体となっている。ボーレン・ピアス音階と呼ばれる周波数3を均等に13分割する（13EDT）ノンオクターブETもまた、ひとつのジェネレートインターバル（約146セント）で形作られる。

ETの各ピッチは、そのジェネレーターの積み重ね（周波数でいうと積）として表される。それゆえジェネレーターは「素音程」（prime interval）としてテンペラメントに従事する。その他の全ての音程は「複合物」（composite）である。これは標識となる音程、分割されるEDOのオクターブやEDTのトリターブもそうである――2/1だろうと「複合物」なのだ。

他にも、一般的に"ET"とは考えられていない、単一のジェネレーターチェーンで形作られるテンペラメントがある。一つの例として、純正ピタゴラス5度（正確に3/2（702セント）でチューニングされている）によるチェーンは、(...) ← -702 ← 0 → 702 → 1404 → 2106 → 2808 → 3510 → (...)のように表される。ダイアトニックノーテーションを使うとき、これは(...) – F – C – G – D – A – E – B – (...)というように表される。しかし各音の音高は、12平均律からわずかに異なることを書きとどめられておくべきである。

上記の例で示したように、7つの連続した音は、慣れ親しんだダイアトニックスケールのピッチを生み出す。しかしながら、もしピタゴラスの5度のチェーンにこだわるなら、これらのピッチは5度の積み重ねとともにずれてゆく――各オクターブの基音から生えたLLsLLLsダイアトニックスケールパターンと食い違う。もしこのチェーンの単音程化された音（LLsLLLs）がほしいならば、1200セントを基準に動けるようにする必要がある。1200セントはピタゴラスの5度連鎖に存在せず、新しい「素音程」として採用する必要がある。つまりオクターブのセカンドジェネレーターチェーンを作る。

ピリオドのイントロダクション

上記の例のような場合、2番目の素音程として周波数比 2/1 を加えることは、ピタゴラスの5度連鎖をピタゴラスのダイアトニックスケールに変換するのに必要な自由度を加えることを意味する。この操作はとても些細なことで、単純に7つの連続した5度をチェーンから取り出し、単音程化する（octave reduction）。この場合、0 → 204 → 408 → 498 → 702 → 906 → 1110セントを得ることになり、ダイアトニックノーテーションで書くときはC – D – E – F – G – A – Bと書き表される。

もし望むなら、新しいオクターブジェネレーターチェーンに沿ってこのパターンを無限に繰り返し並べることができる。もしそうするなら、無限に表れる周期的な音階(...) – C0 – D0 – E0 – F0 – G0 – A0 – B0 – C1 – D1 – E1 – F1 – G1 – A1 – B1 – C2 – (...)を得る。このケースでは、繰り返される音階のジェネレーターはピリオド（period）という特別な名前で呼ばれる。

上記の例では、ピタゴラスのダイアトニックスケールは 3/2 と 2/1 の2つの異なった音程で生成されおり、2/1 がピリオドである。

フラクタルオクターブピリオド

ピリオドがオクターブではないスケールを構築することができる。最も一般的な音階はオクターブを分割するピリオドの音階であるが、しばしば12平均律音楽理論の中でシンメトリックスケール（symmetric scales）と呼ばれる。

分数オクターブピリオドをもつ一般的な音階の例として、12平均律上のC – Db – D# – E – F# – G – A – Bb – Cをもつ、ディミニッシュド、またはオクタトニック音階である。これは12平均律チューニングでは0 – 100 – 300 – 400 – 600 – 700 – 900 – 1000 – 1200セントと考えられるけども。この音階を構築するために、100 セントのジェネレーターチェーンを考えるが、2音が現れた時点で積み重ねをやめ、次のミニチェーンを生み出す。

0 = 100 (or C – C#)

もしオクターブを基準にこの音階を並べるならば、次の奇妙な2音周期的スケールにたどり着く。

(...) ← -1200 ← -1100 ← 0 → 100 → 1200 → 1300 → 2400 → 2500 → (...) (or ... – C0 – Db0 – C1 – Db1 – C2 – Db2 – ...)

しかしながら、代わりに1/4オクターブに音階を並べる、つまり 300 セントをピリオドとするならば、次のスケールにたどり着く。

(...) ← 0 → 100 → 300 → 400 → 600 → 700 → 900 → 1000 → 1200 → (...)

上記の例において、300 セントは 100 セント自身から生成される。これが意味するのは、正確に言うなら、これは2番目の「素」ジェネレーターインターバルではない。この選択、単純さのために 100 セントジェネレーターを採用したことは、この音階のためのすべてのチューニングにおいて適用されるわけではない。たとえば、もし 100 セントのかわりに 91 セントのジェネレーターを使うとき、300 セントのピリオドはもはや3つの積み重ねられたジェネレーターでは構成されない。