平均律

[todo]

フリー百科事典ウィキペディアに以下の記事があります:

平均律

平均律 (英: equal-step tuning, equal tuning, equal division, ED) は、1種類の音程サイズの繰り返しからなる周期的な調律システムである。この1ステップのサイズは明示的に与えられたり(e.g. 88cET (en) )、より大きな音程の等分割として与えられたりする(e.g. オクターブ13平均律)。元になる音程は純正（有理数）音程でも無理数音程でもよいが、通例はオクターブを分割したオクターブ平均律となる。純正音程を等分割した場合、新たに生じる音程は約せる場合（8/1 の3等分は立方根なので 2/1 になる等）を除いてすべて無理数音程となる。

テンペラメントとしての平均律と、純粋に音程の集合、調律システムとしての平均律を簡単に呼び分ける日本語の用語はまだない。テンペラメントとしての平均律というのは、平均律という音階を純正律の近似として説明するものであり、つまり平均律の各音程はそれぞれ何らかの純正音程を代理しているということを作曲家に対して提案するものである。調律の実務に対しては、この提案からオクターブの響きを優先した調律や完全5度の響きを優先した調律など、ステップサイズがわずかに異なる複数の調律システムが派生しうる。逆に全く同じ調律でも、純正律として異なる解釈をするならばそれは異なるテンペラメントであり、その平均律の意外な側面を明らかにするかもしれない。オクターブを等分割するテンペラメントは、英語で n-tone equal temperament (n-tet, n-et)と書かれる。

純正律に基づかずに平均律を扱うこともよくある。この場合の理論面で身軽な用語として、「オクターブの均等な分割」を意味する edo (または ed2) という用語が使われる。この場合は言及されたオクターブ(純正)のみが純正律に関係している。より一般的には、p を分割のもととなる音程として、ed-p という用語が使われる。例えば、ボーレン・ピアース (en) の 3/1 を13分割する平均律は13ed3または13edtと書かれる。

ステップが等しくなるように調律されているため、作曲家はスケールのどこでも好きなところにアプローチできる。 通常は簡約化されるものではあるが、均等な分割のスケールは無限に別名を持っている（12edo = 24ed4 = 36ed8 = …など）。さらにモード音楽と調性音楽の議論において避けられる様々な名前を除外しても、作曲活動から利用可能なモードとキーはまだとても幅広く存在する。

歴史的には、純正律を実用的に修正した音律を「平均律」といった。これには中全音律やウェル・テンペラメントを含む。つまり、純正律からの矛盾した要求に音程を平均化するという方法で対処したもの（≒temperament）をすべて「平均律」と呼んでいたのである。

式

n-ed-p の単ステップの大きさをセント値で得たい場合、p のセント値を n で割ればよい。n-ed-p の k ステップの大きさ s (cent) は

[math]\displaystyle{ \displaystyle s = 1200 \log_2 (p) \cdot k/n }[/math]

となる。n-ed-p の単ステップの大きさを周波数比率で得たい場合、p の n 乗根を求めればよい。例えば、12edoの単ステップは 2^1/12 (≈ 1.059) である。なので、n-ed-p の k ステップの周波数比 c は

[math]\displaystyle{ \displaystyle c = p^{k/n} }[/math]

となる。特に、k が0の場合、c は1となり、k = n の場合、c = p となる。

Simultaneous equal divisions

What do 12ed2, 19ed3, and 28ed5 all have in common? They are all approximately the same scale. This happens because 12ed2 is an accurate temperament (for its size) that contains relatively close approximations of 3/1 and 5/1. In contrast, 11ed2 does not correspond closely to any equal division of 3/1 or 5/1.

The following plot shows equal divisions of 2/1, 3/1, 5/1, and 7/1, and points out some instances when three or more of them happen to be close together. Note that any equal division of 2/1 is automatically an equal division of 4/1; and if something is simultaneously a good equal division of both 2/1 and 3/1, then it is a good equal division of 6/1 as well.

(Unlimited resolution version: equal.svg)

For the mathematically inclined, this kind of diagram is closely related to the Riemann zeta function.

この項目は書きかけの項目（スタブ）です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。