22平均律
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22平均律は22-tet、22-edo、22etと呼ばれ、オクターブを均等に22個のステップに分割したものである。各ステップは54.55セントとなる。
22ステップに分割する考えは、19世紀の音楽家、RHM Bosanquetに起源があるように思われる。Bosenquetはインド音楽理論の、オクターブを均等ではなく22個に分割することにインスピレーションを受けた。そして均等に分割したとき、まあまあ正確な5リミットの音楽になることを発見したのである。引き続いて20世紀に、理論家であるJosé Würschmidtが19平均律の次のステップの可能性であることに気がついた。J. Murray Barbourは古典的なチューニングの歴史の著書、『Tuning and Temperament』で述べている。
22平均律は実際、4セントのTEエラー内となる5リミットに近似する、12と19平均律に次ぐ3番目の均等分割である。ゼータ・ピークと少なくともみなせる整数や平均律ギャップはないけども。少なくともさらにその上、5リミットを超えて、12や19にはなく、3セントのエラーで7や11リミットにも近づくことができる。31平均律の場合の方がさらに良いとはいえ、22平均律はまだこれらの高いリミットの響きとして許容できる。そして実際、22平均律は一貫した11リミットを表現する、最小の平均律である。加えて、22平均律は12と19に似ておらず、ミーントーンシステムでもない。これらの効果により22平均律は、より未知の音楽領域の探求を推進する。例えば、小さな適した楽器の制作などである。
22平均律はまた、11平均律の2.7.9.11.15.17部分群に3と5の響きを加えたものとして扱うこともできる。より正確な2.3.5.7.11.17部分群テンペラメントを作ることができるのである。31倍音を考えると、この近似がわずか半セント以内であり、かなり正確である。
記譜法
スーパーパイス/ポーキュパイン記法
スーパーパイス/ポーキュパイン記法は、スーパーパイス音律 (en) とポーキュパイン音律 (en) の両方から生まれた記法である。
まず、5L 2s スーパーパイス[7] による名前を付ける。ただし、不完全音程の前には “s-” をつけ、完全4度・完全5度は「完全」をとって代わりに「本位(natural, 暫定訳語)」を付ける。次に、1L 6s (en) ポーキュパイン[7] による名前を付ける。ただし、各音程の前には “p-” をつける。すると、2, 11, 20ステップ目以外は長、短、本位音程のいずれかにできる。この残った3つはp-減2度、半オクターヴ、p-増7度などと命名できる。
ポーキュパイン記法
ポーキュパイン記法もポーキュパインのジェネレータ(3\22)を使用して記法を作る。2度と7度は完全音程で、4度と5度は3度と6度と同様に不完全音程となる。本位音程は2度の連鎖 A-B-C-D-E-F-G を表す。これは、追加の臨時記号なしで7音階を記譜する唯一の方法である。
キーボードは D * * E * * F * * G * * * A * * B * * C * * D となる。
ペンタトニック記法
ペンタトニック記譜法では、度数はユニゾン・準3度・擬4度・擬5度・準7度・擬8度である。本位音程は5度連鎖 F-C-G-D-A を表す。これは、追加の臨時記号なしで5度連鎖記譜法を使用する唯一の方法である。
要は通常の2L 3s 3|1, マイナーペンタトニックスケール LssLs に12平均律と同様の名前を割り当てたものである。ただしDから始める。
キーボードは D * * * * F * * * G * * * A * * * * C * * * D となる。
デカトニック記法
デカトニック記法は、Paul Erlich (en) の10音音階に基づいている。一般的な記法とは異なり、デカトニックシステムは7音ではなく10音の音階に基づいている。このアプローチでは、コード、音程、記法のすべてをもう一度学習し直す必要があるが、22平均律を1組の臨時記号のみを使用して記譜できるため、7音階的な思考パターンから抜け出す機会が得られる。このシステムは、2つの5度連鎖に基づいている。1つはラテン文字で、もう1つはギリシア文字で表される。2つの連鎖は、2つの並置された5音音階として考えることができる。
連鎖1：C-G-D-A-E
連鎖2：γ-δ-α-ε-β
アルファベットは昇順で、C δ D ε E γ G α A β C となる。
このアルファベットでは、あるラテン文字の組が5度の関係にあるとき、それに対応するギリシャ文字の組も同じく5度の関係になる。たとえば、G-D は5度であるので、γ-δ も5度となる。
サジタルノーテーション(矢印記法)
22平均律を5度圏によって生成されるものとして扱う場合、本位音 F-C-G-D-A-E-B は 13\22 の反復による5度連鎖を表す。その結果、全音は4ステップになり、アポトメー（apotome, ピタゴラスのシャープ/フラット1つ分の音程）は3ステップになる。アポトメーを3つの部分に分割する3組のサジタル記号のみが必要であり、多くの異名同音が提供される。
この表記は、5-リミット純正音程のサジタルノーテーションと一致している。つまり、「長」3度と6度は、シントニックコンマ1つ分下げられた（スーパー）ピタゴラス音程として現れる。
アポトメーを3つのシントニックコンマに分割するということは、22がポーキュパインコンマ (en) （これは『シントニックコンマ × 3 − アポトメー』と等しい）をテンパーアウトすることを示している。
また、Jacob A. Barton (en) 著のThe Sagittal Songbook (en) の付録には、Revo版（純粋版）サジタル記号で22平均律を表記する方法を示す次の図がある：
アップ&ダウン記法
標準的なピタゴラスの五度連鎖記法は、アップ(^)とダウン(v)と一緒に使用できる。アップまたはダウンを1回行うと、音のピッチが1ステップ(1\22)変化する。
EbとD#は異なる音であり、かつEbのピッチはD#よりも低いことに注意せよ。これは硬い (en) ダイアトニックスケールの特徴である。
| ステップ (en) | セント | アップ&ダウン記法 (en) | |
|---|---|---|---|
| ダイアトニック音程名 (en) | C始点の記号 | ||
| 0 | 0.00 | 完全1度(P1) | C |
| 1 | 54.545 | 短2度 (m2) アップ1度 (^1) |
Db ^C |
| 2 | 109.091 | アップ短2度 (^m2) ダウン増1度 (vA1) 減3度 (d3) |
^Db vC# Ebb |
| 3 | 163.636 | ダウン長2度 (vM2) 増1度 (A1) |
vD C# |
| 4 | 218.182 | 長2度 (M2) アップ増1度 (^A1) ダウン短3度 (vm3) |
D ^C# vEb |
| 5 | 272.727 | アップ長2度 (^M2) 短3度 (m3) |
^D Eb |
| 6 | 327.273 | アップ短3度 (^m3) 減4度 (d4) |
^Eb Fb |
| 7 | 381.818 | ダウン長3度 (vM3) 増2度 (A2) アップ減4度 (^d4) |
vE D# ^Fb |
| 8 | 436.364 | 長3度 (M3) アップ増2度 (^A2) ダウン4度 (v4) |
E ^D# vFb |
| 9 | 490.909 | 完全4度 (P4) | F |
| 10 | 545.455 | アップ4度 (^4) 減5度 (d5) |
^F Gb |
| 11 | 600.000 | ダウン増4度 (vA4) アップ減5度 (^d5) |
vF# ^Gb |
| 12 | 654.545 | 増4度 (A4) ダウン5度 (v5) |
F# vG |
| 13 | 709.091 | 完全5度 (P5) | G |
| 14 | 763.636 | アップ5度 (^5) 短6度 (m6) |
^G Ab |
| 15 | 818.182 | ダウン増5度 (vA5) アップ短6度 (^m6) |
vG# ^Ab |
| 16 | 872.727 | 増5度 (A5) ダウン長6度 (vM6) |
G# vA |
| 17 | 927.273 | 長6度 (M6) アップ増5度 (^A5) ダウン短7度 (vm7) |
A ^G# vBb |
| 18 | 981.818 | 短7度 (m7) アップ長6度 (^M6) ダウン減8度 (vd8) |
Bb ^A vC |
| 19 | 1036.364 | アップ短7度 (^m7) 減8度 (d8) |
^Bb Cb |
| 20 | 1090.909 | ダウン長7度 (vM7) アップ減8度 (^d8) 増6度 (A6) |
vB ^Cb A# |
| 21 | 1145.455 | 長7度 (M7) ダウン8度 (v8) |
B vC |
| 22 | 1200.000 | 完全8度 (P8) | C |
アップ・ダウン記号 (en) をシャープ・フラットと「融合」したものとして 扱い、別々に現れることはない記法の場合：
アップ・ダウン記号をシャープ・フラットとは独立したものとして扱い、別々に現れることもある記法の場合：
必須の臨時記号（調号なし）・最小限の臨時記号（調号を上書きする必要がある場合のみ）・独立したアップ・ダウン記号で、それぞれ表したDダウンメジャースケール。
あるいは、独立したアップ・ダウン記号の代わりに、Helmholtz–Ellis記法 (en) の矢印臨時記号を使用することもできる。
| ステップオフセット | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| シャープ記号 |  |
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| フラット記号 |  |
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下に示すのは独立したアップ・ダウン記号を用いて書かれたPaul Erlich (en) の “Tibia” in Gである。
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Tibia in G (page 1) -
Tibia in G (page 2)
22平均律の各記譜法の比較
not yet
22平均律の音程と近似値
周波数比の分母分子が16以下で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=22, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「JIの『近所』」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。
| 平均律 | 音程 | セント | DMS | JIの「近所」 | 日本語名 | 比率 | セント差分 | セント | diff DMS | DMS |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 22 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 54.55 | 16.36 | ||||||||
| 2 | 109.09 | 32.73 | minor diatonic semitone | ダイアトニック小半音 | 16/15 | -2.64 | 111.73 | -0.79 | 33.52 | |
| 2 | 109.09 | 32.73 | major diatonic semitone | ダイアトニック大半音 | 15/14 | -10.35 | 119.44 | -3.11 | 35.83 | |
| 3 | 163.64 | 49.09 | 3/4-tone, undecimal neutral second | 3/4-全音, 11倍音系中2度 | 12/11 | 13.00 | 150.64 | 3.90 | 45.19 | |
| 3 | 163.64 | 49.09 | minor whole tone | 小全音 | 11/10 | -1.37 | 165.00 | -0.41 | 49.50 | |
| 4 | 218.18 | 65.45 | major whole tone | 大全音 | 9/8 | 14.27 | 203.91 | 4.28 | 61.17 | |
| 4 | 218.18 | 65.45 | septimal whole tone | 7倍音系全音 | 8/7 | -12.99 | 231.17 | -3.90 | 69.35 | |
| 5 | 272.73 | 81.82 | septimal minor third | 7倍音系短3度 | 7/6 | 5.86 | 266.87 | 1.76 | 80.06 | |
| 6 | 327.27 | 98.18 | minor third | 古典的短3度 | 6/5 | 11.63 | 315.64 | 3.49 | 94.69 | |
| 7 | 381.82 | 114.55 | major third | 古典的長3度 | 5/4 | -4.50 | 386.31 | -1.35 | 115.89 | |
| 8 | 436.36 | 130.91 | septimal major third, BP third | 7倍音系長3度, ボーレン・ピアースの3度 | 9/7 | 1.28 | 435.08 | 0.38 | 130.53 | |
| 9 | 490.91 | 147.27 | perfect fourth | 完全4度 | 4/3 | -7.14 | 498.04 | -2.14 | 149.41 | |
| 10 | 545.45 | 163.64 | undecimal augmented fourth | 11倍音系増4度 | 15/11 | 8.50 | 536.95 | 2.55 | 161.09 | |
| 10 | 545.45 | 163.64 | undecimal semi-augmented fourth | 11倍音系半増5度 | 11/8 | -5.86 | 551.32 | -1.76 | 165.40 | |
| 11 | 600.00 | 180.00 | ||||||||
| 12 | 654.55 | 196.36 | undecimal semi-diminished fifth | 11倍音系半減5度 | 16/11 | 5.86 | 648.68 | 1.76 | 194.60 | |
| 13 | 709.09 | 212.73 | perfect fifth | 完全5度 | 3/2 | 7.14 | 701.96 | 2.14 | 210.59 | |
| 14 | 763.64 | 229.09 | septimal minor sixth | 7倍音系長6度 | 14/9 | -1.28 | 764.92 | -0.38 | 229.47 | |
| 15 | 818.18 | 245.45 | minor sixth | 古典的短6度 | 8/5 | 4.50 | 813.69 | 1.35 | 244.11 | |
| 16 | 872.73 | 261.82 | major sixth, BP sixth | 古典的長6度, ボーレン・ピアースの6度 | 5/3 | -11.63 | 884.36 | -3.49 | 265.31 | |
| 17 | 927.27 | 278.18 | septimal major sixth | 7倍音系長6度 | 12/7 | -5.86 | 933.13 | -1.76 | 279.94 | |
| 18 | 981.82 | 294.55 | harmonic seventh | 自然7度 | 7/4 | 12.99 | 968.83 | 3.90 | 290.65 | |
| 18 | 981.82 | 294.55 | Pythagorean minor seventh | ピタゴラスの短7度 | 16/9 | -14.27 | 996.09 | -4.28 | 298.83 | |
| 19 | 1036.36 | 310.91 | 21/4-tone, undecimal neutral seventh | 21/4-全音, 11倍音系中7度 | 11/6 | -13.00 | 1049.36 | -3.90 | 314.81 | |
| 20 | 1090.91 | 327.27 | classic major seventh | 古典的長7度 | 15/8 | 2.64 | 1088.27 | 0.79 | 326.48 | |
| 21 | 1145.45 | 343.64 | ||||||||
| 22 | 1200.00 | 360.00 |
22平均律の特徴
ひょっとしたら22平均律の最も顕著な特徴は、81/80のシントニックをテンパーアウトしないことである。それゆえ、ミーントーンテンペラメントのシステムではない。12平均律は区別しないが、22がピタゴラスと5リミットの音程の数を区別することを意味する。例えば9/8と10/9という2つの全音など。実際、これらの区別は大げさに5リミットJIにおいて、たくさんのより鋭い、34平均律や41平均律、53平均律のようなものと大げさに比較される。
ダイアトニックスケールはsuperpythテンペラメントから生成される。ミーントーン・ダイアトニックスケール（LLsLLLs, 5L2s）のように同じメロディーの構成を持つにもかかわらず。それは5/4と6/5よりも9/7と7/6に近い3度をもつ。
164セント・「小全音のフラット」は、22平均律において重要な音程である。なぜなら11リミットにおける3つの異なった調和の周波数比、10/9、11/10、12/11としての機能を持つからである。したがって、極端に曖昧で柔軟である。そのトレードオフは、とても12平均律ピアノのひずみとなり、それゆえほとんどの12平均律の聞き手は、聞き馴染みのあるものである。単純な5リミットの音楽を22平均律に移行させたとしても、よりコンプレックスをもったハーモニーが必ず生じ、とても異なった響きに聞こえる。
ランク22テンペラメント
コンマをなだらかにする
22平均律を< 22 35 51 62 76 81 |ヴァルとみなしたとき、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
| Comma | Monzo | Value (Cents) | Name 1 | Name 2 | Name 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 250/243 | | 1 -5 3 > | 49.17 | Maximal Diesis | Porcupine Comma | |
| 3125/3072 | | -10 -1 5 > | 29.61 | Small Diesis | Magic Comma | |
| 2048/2025 | | 11 -4 -2 > | 19.55 | Diaschisma | ||
| 2109375/2097152 | | -21 3 7 > | 10.06 | Semicomma | Fokker Comma | |
| 9193891/9143623 | | 32 -7 -9 > | 9.49 | Escapade Comma | ||
| 4758837/4757272 | | -53 10 16 > | 0.57 | Kwazy | ||
| 50/49 | | 1 0 2 -2 > | 34.98 | Tritonic Diesis | Jubilisma | |
| 64/63 | | 6 -2 0 -1 > | 27.26 | Septimal Comma | Archytas' Comma | Leipziger Komma |
| 875/864 | | -5 -3 3 1 > | 21.90 | Keema | ||
| 2430/2401 | | 1 5 1 -4 > | 20.79 | Nuwell | ||
| 245/243 | | 0 -5 1 2 > | 14.19 | Sensamagic | ||
| 1728/1715 | | 6 3 -1 -3 > | 13.07 | Orwellisma | Orwell Comma | |
| 225/224 | | -5 2 2 -1 > | 7.71 | Septimal Kleisma | Marvel Comma | |
| 10976/10935 | | 5 -7 -1 3 > | 6.48 | Hemimage | ||
| 6144/6125 | | 11 1 -3 -2 > | 5.36 | Porwell | ||
| 65625/65536 | | -16 1 5 1 > | 2.35 | Horwell | ||
| 420175/419904 | | -6 -8 2 5 > | 1.12 | Wizma | ||
| 99/98 | | -1 2 0 -2 1 > | 17.58 | Mothwellsma | ||
| 100/99 | | 2 -2 2 0 -1 > | 17.40 | Ptolemisma | ||
| 121/120 | | -3 -1 -1 0 2 > | 14.37 | Biyatisma | ||
| 125/124 | |-4 0 3 0 ... -1> | 13.91 | Twizzler | ||
| 176/175 | | 4 0 -2 -1 1 > | 9.86 | Valinorsma | ||
| 896/891 | | 7 -4 0 1 -1 > | 9.69 | Pentacircle | ||
| 65536/65219 | | 16 0 0 -2 -3 > | 8.39 | Orgonisma | ||
| 385/384 | | -7 -1 1 1 1 > | 4.50 | Keenanisma | ||
| 540/539 | | 2 3 1 -2 -1 > | 3.21 | Swetisma | ||
| 4000/3993 | | 5 -1 3 0 -3 > | 3.03 | Wizardharry | ||
| 9801/9800 | | -3 4 -2 -2 2 > | 0.18 | Kalisma | Gauss' Comma | |
| 91/90 | | -1 -2 -1 1 0 1 > | 19.13 | Superleap |