23平均律
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(semiconvergent)
23tET、または23EDOは、オクターブを23分割する、テンパーされたシステムであり、各ステップはおおよそ52.173913セントであり、それはまた新造語としてIcositriphony（Icositrifonia）と呼ばれる。5/3と11/7、そして13と17に近似し、2.5/3.11/7.13.17純正調サブグループとみなされる。もしこのサブグループが17リミット46平均律のコンマを加えられたなら、より大きな17リミット2*23サブグループ 2.9.15.21.33.13.17 が得られる。これは17リミット46平均律のようなコンマと同じ23がもつチューニングの中で、最も大きいサブグループである、そしておそらく今までのところ、23平均律のハーモニーの分析にもとづくとみなされ、純正音程の近似とされる。23平均律は9番目の、19平均律の後であり、29平均律の前の素数平均律である。
理論
奇数倍音
| 倍音 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | -23.7 | -21.1 | +22.5 | +4.8 | +22.6 | -5.7 | +7.4 | -0.6 | +15.5 | -1.2 | -2.2 |
| 相対 (%) | -45.4 | -40.4 | +43.1 | +9.2 | +43.3 | -11.0 | +14.2 | -1.2 | +29.8 | -2.3 | -4.2 | |
| ステップ (reduced) |
36 (13) |
53 (7) |
65 (19) |
73 (4) |
80 (11) |
85 (16) |
90 (21) |
94 (2) |
98 (6) |
101 (9) |
104 (12) | |
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、23平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 11/7, 14/11 | 0.117 | 0.2 |
| 5/3, 6/5 | 2.598 | 5.0 |
| 9/8, 16/9 | 4.786 | 9.2 |
| 13/8, 16/13 | 5.745 | 11.0 |
| 11/6, 12/11 | 5.885 | 11.3 |
| 7/6, 12/7 | 6.001 | 11.5 |
| 15/8, 16/15 | 7.383 | 14.2 |
| 11/10, 20/11 | 8.482 | 16.3 |
| 7/5, 10/7 | 8.599 | 16.5 |
| 13/9, 18/13 | 10.531 | 20.2 |
| 15/13, 26/15 | 13.129 | 25.2 |
| 15/14, 28/15 | 15.095 | 28.9 |
| 15/11, 22/15 | 15.212 | 29.2 |
| 13/10, 20/13 | 15.351 | 29.4 |
| 9/7, 14/9 | 17.693 | 33.9 |
| 11/9, 18/11 | 17.809 | 34.1 |
| 13/12, 24/13 | 17.949 | 34.4 |
| 5/4, 8/5 | 21.096 | 40.4 |
| 7/4, 8/7 | 22.478 | 43.1 |
| 11/8, 16/11 | 22.595 | 43.3 |
| 3/2, 4/3 | 23.694 | 45.4 |
| 13/11, 22/13 | 23.834 | 45.7 |
| 13/7, 14/13 | 23.950 | 45.9 |
| 9/5, 10/9 | 25.882 | 49.6 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 11/7, 14/11 | 0.117 | 0.2 |
| 5/3, 6/5 | 2.598 | 5.0 |
| 13/8, 16/13 | 5.745 | 11.0 |
| 13/10, 20/13 | 15.351 | 29.4 |
| 13/12, 24/13 | 17.949 | 34.4 |
| 5/4, 8/5 | 21.096 | 40.4 |
| 7/4, 8/7 | 22.478 | 43.1 |
| 11/8, 16/11 | 22.595 | 43.3 |
| 3/2, 4/3 | 23.694 | 45.4 |
| 9/5, 10/9 | 26.292 | 50.4 |
| 13/7, 14/13 | 28.223 | 54.1 |
| 13/11, 22/13 | 28.340 | 54.3 |
| 15/13, 26/15 | 39.045 | 74.8 |
| 13/9, 18/13 | 41.643 | 79.8 |
| 7/5, 10/7 | 43.575 | 83.5 |
| 11/10, 20/11 | 43.691 | 83.7 |
| 15/8, 16/15 | 44.790 | 85.8 |
| 7/6, 12/7 | 46.173 | 88.5 |
| 11/6, 12/11 | 46.289 | 88.7 |
| 9/8, 16/9 | 47.388 | 90.8 |
| 15/14, 28/15 | 67.269 | 128.9 |
| 15/11, 22/15 | 67.386 | 129.2 |
| 9/7, 14/9 | 69.867 | 133.9 |
| 11/9, 18/11 | 69.983 | 134.1 |
23平均律の音程と近似値
各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=23, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
| 23 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 52.17 | 15.65 | ||||||||
| 2 | 104.35 | 31.30 | minor diatonic semitone | ダイアトニックの短2度 | 16/15 | -7.38 | 111.73 | -2.22 | 33.52 | |
| 2 | 104.35 | 31.30 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | -15.09 | 119.44 | -4.53 | 35.83 | |
| 3 | 156.52 | 46.96 | 3/4-tone, undecimal neutral second | 3/4全音、11リミットの中立的な2度 | 12/11 | 5.88 | 150.64 | 1.77 | 45.19 | |
| 3 | 156.52 | 46.96 | minor whole tone | 小全音 | 11/10 | -8.48 | 165.00 | -2.54 | 49.50 | |
| 4 | 208.70 | 62.61 | major whole tone | 大全音 | 9/8 | 4.79 | 203.91 | 1.44 | 61.17 | |
| 5 | 260.87 | 78.26 | tridecimal 5/4-tone | 13リミットの5/4全音 | 15/13 | 13.13 | 247.74 | 3.94 | 74.32 | |
| 5 | 260.87 | 78.26 | septimal minor third | 7リミットの短3度 | 7/6 | -6.00 | 266.87 | -1.80 | 80.06 | |
| 6 | 313.04 | 93.91 | minor third | 短3度 | 6/5 | -2.60 | 315.64 | -0.78 | 94.69 | |
| 7 | 365.22 | 109.57 | tridecimal neutral third | 13リミットの中立3度 | 16/13 | 5.75 | 359.47 | 1.72 | 107.84 | |
| 8 | 417.39 | 125.22 | undecimal diminished fourth or major third | 11リミットの減4度または長3度 | 14/11 | -0.12 | 417.51 | -0.03 | 125.25 | |
| 9 | 469.57 | 140.87 | tridecimal semi-diminished fourth | 13リミットの準減4度 | 13/10 | 15.35 | 454.21 | 4.61 | 136.26 | |
| 10 | 521.74 | 156.52 | undecimal augmented fourth | 11リミットの増4度 | 15/11 | -15.21 | 536.95 | -4.56 | 161.09 | |
| 11 | 573.91 | 172.17 | septimal or Huygens' tritone, BP fourth | 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 | 7/5 | -8.60 | 582.51 | -2.58 | 174.75 | |
| 12 | 626.09 | 187.83 | Euler's tritone | レオンハルト・オイラーの3全音 | 10/7 | 8.60 | 617.49 | 2.58 | 185.25 | |
| 12 | 626.09 | 187.83 | tridecimal diminished fifth | 13リミットの減5度 | 13/9 | -10.53 | 636.62 | -3.16 | 190.99 | |
| 13 | 678.26 | 203.48 | ||||||||
| 14 | 730.43 | 219.13 | ||||||||
| 15 | 782.61 | 234.78 | undecimal augmented fifth | 11リミットの増5度 | 11/7 | 0.12 | 782.49 | 0.03 | 234.75 | |
| 16 | 834.78 | 250.43 | tridecimal neutral sixth | 13リミットの中立6度 | 13/8 | -5.75 | 840.53 | -1.72 | 252.16 | |
| 17 | 886.96 | 266.09 | major sixth, BP sixth | 長6度、ボーレン・ピアスの6度 | 5/3 | 2.60 | 884.36 | 0.78 | 265.31 | |
| 18 | 939.13 | 281.74 | septimal major sixth | 7リミットの長6度 | 12/7 | 6.00 | 933.13 | 1.80 | 279.94 | |
| 19 | 991.30 | 297.39 | Pythagorean minor seventh | ピタゴラスの短7度 | 16/9 | -4.79 | 996.09 | -1.44 | 298.83 | |
| 20 | 1043.48 | 313.04 | 21/4-tone, undecimal neutral seventh | 21/4全音、11リミットの中立7度 | 11/6 | -5.88 | 1049.36 | -1.77 | 314.81 | |
| 21 | 1095.65 | 328.70 | classic major seventh | 古典的な長7度 | 15/8 | 7.38 | 1088.27 | 2.22 | 326.48 | |
| 22 | 1147.83 | 344.35 | ||||||||
| 23 | 1200.00 | 360.00 |
| 256x255px |
| Ciclo Icositrifonía.png |
下に示すチャートは、23平均律で利用できるMavilaのMOS音階を示す。主にペンタトニック、アンチダイアトニック、9と16のMOSである。これは23平均律自身の個々のステップを示すouter ringであり、16と9、7と5音のMOSを示す。
| 23edoMavilaMOS.jpg |
| 23edoMavilaMOS.jpg |
23平均律は、民族音楽学者であるErich von Hornbostelによって提案された、678セントの膨れた5度の結果である。この膨れた5度は、bamboo pipeを強く吹くことにより生まれると彼は主張している。
23平均律はまた、3、5、7、11倍音に20セント以内で近似しない、最も大きい平均律、という点で重要な意味をもつ。それは一般的な微分音理論家から非常に外れた領域のハーモニーの探求に適している。加えるなら、これらのハーモニーに近似するのに失敗した事実にもかかわらず、5/3、7/3、11/3、7/5、11/7、そして11/5の間の音程には非常に近似する。その最も低いハーモニーは23平均律によって良く13、17、21、そして23に近似する。より詳細なものはここを見ていただきたい。
9、16、25平均律のように、23平均律を扱う手法はペロギックテンペラメント、つまり135/128のコンマをテンパーアウトし、5/1（Armodueシステムと関連する）とともに、3つの「鋭い4/3」が3つ分と同じとみなすことである。この意味は、「3/2」を23平均律の13degreeでマッピングし、その結果としてAnti-diatonic scale （3 3 4 3 3 3 4）の7音となり、Superdiatonic scale（3 3 3 1 3 3 3 3 1）の9音に拡大される。Armodueシステムを使い、23平均律の記譜できる。しかしダイアトニックシステム類をもつ17平均律の記譜法のように、フラットはエンハーモニックシャープより低くなる。なぜなら23平均律は、「Armodue 6th」が16平均律よりシャープされ、17平均律のダイアトニック5thのように12平均律よりシャープされるからである。言い換えれば、2bは1#より低くなり、17平均律のように、EbはD#より低い。