21平均律
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21平均律は、7平均律類と増の音のしっかりとした特徴を提供する。またいくつかの良い協和の可能性を提供し、また、アポトメーのような面白い音程を提供する。21平均律システムは3つの7平均律が結びついたものとして扱うことができ、また均等な7音音階として扱うことができ、また7つの3平均律が「増加された」トライアドとして扱うことができる。968.826セントの7/4は21音からたったの2.6セントのみはずれており、ほかの平均律よりも近い。
理論
奇数倍音
| 倍音 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | -16.2 | +13.7 | +2.6 | +24.7 | +20.1 | +16.6 | -2.6 | +9.3 | -11.8 | -13.6 | +0.3 |
| 相対 (%) | -28.4 | +24.0 | +4.6 | +43.2 | +35.2 | +29.1 | -4.5 | +16.3 | -20.6 | -23.9 | +0.5 | |
| ステップ (reduced) |
33 (12) |
49 (7) |
59 (17) |
67 (4) |
73 (10) |
78 (15) |
82 (19) |
86 (2) |
89 (5) |
92 (8) |
95 (11) | |
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、21平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 15/8, 16/15 | 2.554 | 4.5 |
| 7/4, 8/7 | 2.603 | 4.6 |
| 13/10, 20/13 | 2.929 | 5.1 |
| 13/11, 22/13 | 3.495 | 6.1 |
| 11/9, 18/11 | 4.551 | 8.0 |
| 15/14, 28/15 | 5.157 | 9.0 |
| 11/10, 20/11 | 6.424 | 11.2 |
| 13/9, 18/13 | 8.046 | 14.1 |
| 9/5, 10/9 | 10.975 | 19.2 |
| 7/5, 10/7 | 11.084 | 19.4 |
| 5/4, 8/5 | 13.686 | 24.0 |
| 13/7, 14/13 | 14.013 | 24.5 |
| 3/2, 4/3 | 16.241 | 28.4 |
| 13/8, 16/13 | 16.615 | 29.1 |
| 11/7, 14/11 | 17.508 | 30.6 |
| 7/6, 12/7 | 18.843 | 33.0 |
| 15/13, 26/15 | 19.170 | 33.5 |
| 11/8, 16/11 | 20.111 | 35.2 |
| 11/6, 12/11 | 20.792 | 36.4 |
| 9/7, 14/9 | 22.059 | 38.6 |
| 15/11, 22/15 | 22.665 | 39.7 |
| 13/12, 24/13 | 24.287 | 42.5 |
| 9/8, 16/9 | 24.661 | 43.2 |
| 5/3, 6/5 | 27.216 | 47.6 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 15/8, 16/15 | 2.554 | 4.5 |
| 7/4, 8/7 | 2.603 | 4.6 |
| 13/10, 20/13 | 2.929 | 5.1 |
| 13/11, 22/13 | 3.495 | 6.1 |
| 15/14, 28/15 | 5.157 | 9.0 |
| 11/10, 20/11 | 6.424 | 11.2 |
| 7/5, 10/7 | 11.084 | 19.4 |
| 5/4, 8/5 | 13.686 | 24.0 |
| 13/7, 14/13 | 14.013 | 24.5 |
| 3/2, 4/3 | 16.241 | 28.4 |
| 13/8, 16/13 | 16.615 | 29.1 |
| 11/7, 14/11 | 17.508 | 30.6 |
| 7/6, 12/7 | 18.843 | 33.0 |
| 15/13, 26/15 | 19.170 | 33.5 |
| 11/8, 16/11 | 20.111 | 35.2 |
| 15/11, 22/15 | 22.665 | 39.7 |
| 5/3, 6/5 | 29.927 | 52.4 |
| 9/8, 16/9 | 32.481 | 56.8 |
| 13/12, 24/13 | 32.856 | 57.5 |
| 9/7, 14/9 | 35.084 | 61.4 |
| 11/6, 12/11 | 36.351 | 63.6 |
| 9/5, 10/9 | 46.168 | 80.8 |
| 13/9, 18/13 | 49.097 | 85.9 |
| 11/9, 18/11 | 52.592 | 92.0 |
21平均律の音程と近似値
各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=21, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
| 21 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 57.14 | 17.14 | ||||||||
| 2 | 114.29 | 34.29 | minor diatonic semitone | ダイアトニックの短2度 | 16/15 | 2.55 | 111.73 | 0.77 | 33.52 | |
| 2 | 114.29 | 34.29 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | -5.16 | 119.44 | -1.55 | 35.83 | |
| 2 | 114.29 | 34.29 | 2/3-tone | 2/3全音 | 14/13 | -14.01 | 128.30 | -4.20 | 38.49 | |
| 3 | 171.43 | 51.43 | minor whole tone | 小全音 | 11/10 | 6.42 | 165.00 | 1.93 | 49.50 | |
| 3 | 171.43 | 51.43 | minor whole tone | 小全音 | 10/9 | -10.98 | 182.40 | -3.29 | 54.72 | |
| 4 | 228.57 | 68.57 | septimal whole tone | 7リミットの全音 | 8/7 | -2.60 | 231.17 | -0.78 | 69.35 | |
| 5 | 285.71 | 85.71 | tridecimal minor third | 13リミットの短3度 | 13/11 | -3.50 | 289.21 | -1.05 | 86.76 | |
| 6 | 342.86 | 102.86 | undecimal neutral third | 11リミットの中立3度 | 11/9 | -4.55 | 347.41 | -1.37 | 104.22 | |
| 6 | 342.86 | 102.86 | tridecimal neutral third | 13リミットの中立3度 | 16/13 | -16.62 | 359.47 | -4.98 | 107.84 | |
| 7 | 400.00 | 120.00 | major third | 長3度 | 5/4 | 13.69 | 386.31 | 4.11 | 115.89 | |
| 8 | 457.14 | 137.14 | tridecimal semi-diminished fourth | 13リミットの準減4度 | 13/10 | 2.93 | 454.21 | 0.88 | 136.26 | |
| 9 | 514.29 | 154.29 | perfect fourth | 完全4度 | 4/3 | 16.24 | 498.04 | 4.87 | 149.41 | |
| 10 | 571.43 | 171.43 | septimal or Huygens' tritone, BP fourth | 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 | 7/5 | -11.08 | 582.51 | -3.33 | 174.75 | |
| 11 | 628.57 | 188.57 | Euler's tritone | レオンハルト・オイラーの3全音 | 10/7 | 11.08 | 617.49 | 3.33 | 185.25 | |
| 11 | 628.57 | 188.57 | tridecimal diminished fifth | 13リミットの減5度 | 13/9 | -8.05 | 636.62 | -2.41 | 190.99 | |
| 12 | 685.71 | 205.71 | perfect fifth | 完全5度 | 3/2 | -16.24 | 701.96 | -4.87 | 210.59 | |
| 13 | 742.86 | 222.86 | ||||||||
| 14 | 800.00 | 240.00 | minor sixth | 短6度 | 8/5 | -13.69 | 813.69 | -4.11 | 244.11 | |
| 15 | 857.14 | 257.14 | tridecimal neutral sixth | 13リミットの中立6度 | 13/8 | 16.62 | 840.53 | 4.98 | 252.16 | |
| 16 | 914.29 | 274.29 | ||||||||
| 17 | 971.43 | 291.43 | harmonic seventh | 第7倍音 | 7/4 | 2.60 | 968.83 | 0.78 | 290.65 | |
| 18 | 1028.57 | 308.57 | just minor seventh, BP seventh | 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 | 9/5 | 10.98 | 1017.60 | 3.29 | 305.28 | |
| 19 | 1085.71 | 325.71 | 16/3-tone | 16/3全音 | 13/7 | 14.01 | 1071.70 | 4.20 | 321.51 | |
| 19 | 1085.71 | 325.71 | classic major seventh | 古典的な長7度 | 15/8 | -2.55 | 1088.27 | -0.77 | 326.48 | |
| 20 | 1142.86 | 342.86 | ||||||||
| 21 | 1200.00 | 360.00 |
テンペラメントとしての21平均律
ダイアトニックに関連した視点から見ると、21平均律は2度の4つのタイプ（subminor、minor、submajor、supermajor）、そして3度の3つのタイプ（subminor、neutral、major）、third-fourth（supermajor 3rdとも、狭い4度とも見なせる音程）、広い（鋭い）4度、そして狭い3全音、同様にこれらすべてのオクターブを分割したものを所有する。
テンペラメントの視点から見ると、21平均律は3と5、7、11、13による13リミットテンペラメントとして扱うことができる。しかし、21平均律が純正に近い倍音だけ7倍音である。一方、21平均律は例外的に3セント以下の値となる15、23、29倍音の鋭いチューニングであり、同様に27倍音とは8セント以内という合理的な近似を示す。そのようにして、2.7.15.23.27.29サブグループテンペラメントとして21平均律を扱うとき、より鋭い合理的なチューニングを認めることになる。なぜなら21平均律の音程はそれぞれ29アドリミット内で述べられるからである。21平均律はまた、2.9/5.11/5.13/5.17/5.35/5サブグループとしてもよく働き、これはよりセンシティブな可能性である。
21音音階
21平均律の3和音の響き
21平均律のおもしろい特徴の1つは、さまざまなトライアドのバラエティーである。228.6、285.7、342.9、400、457.1セントは3度のカテゴリーの機能をし、arto、minor、neutral、major、tendoの3度といった聞きなれたダイアトニック音程のカテゴリーとなる。21平均律の狭い5度と5つのタイプの3度で3和音を作ることができる。付け加えるなら、幾分か注目すべき倍音による代替3和音は以下になる。
| Steps | Cents | Ratio |
| 0-5-10 | 0-286-571 | 23:27:32 |
| 0-4-11 | 0-229-629 | 7:8:10 |
| 0-6-11 | 0-343-629 | 9:11:13 |
| 0-5-13 | 0-286-743 | 11:13:17 |
| 0-8-13 | 0-457-743 | 13:17:20 |
| 0-5-15 | 0-286-857 | 11:13:18 |
21平均律のMOS音階
21平均律は子平均律として3と7を含むため、7音MOS音階は持たず、1/3オクターブをピリオドとして反復した音階を持つ。1/3オクターブピリオドを使う7リミットの響き（0-7-12-17という4:5:6:7コードにもとづく）のため、もっとも効率的なハーモニーの音階が産出される。3L6sの9音音階（12平均律のTcherpnin音階に関連する）は、素晴らしい例である。
フルオクターブをピリオドとする音階の場合、21平均律のたった6音程が独特の音階を作る。121、221、421、521、821、1021である。他の音程は7平均律または3平均律、またはその他の音階の反復で生成される。
21平均律のテトラコード音階
21平均律がいくつかの7音MOS音階を欠如しているため、21平均律はさまざまな便利で面白い7音音階を構築でき、それはMOSジェネレーターの代わりのテトラコードとして使える。21平均律の4度は9ステップで、次のような3パートで分割できる。
| Step Pattern | Cents | Name* |
| 3, 3, 3 | 0-171-343-514 | Equable diatonic |
| 4, 3, 2 | 0-229-400-514 | Soft diatonic |
| 4, 4, 1 | 0-229-457-514 | Intense diatonic |
| 5, 3, 1 | 0-286-457-514 | Archytas chromatic |
| 5, 2, 2 | 0-286-400-514 | Weak chromatic |
| 6, 2, 1 | 0-343-457-514 | Strong enharmonic |
| 7, 1, 1 | 0-400-457-514 | Pythagorean enharmonic |
ノート：これらの名前はGreek氏の古いtetrachordal generaによって集められているため、よりよいものがあれば書き換えてほしい。
これら7つの基本的なパターンは、また順序を変え回転させ、結果的に28のテトラコードを生成させる。結合、また結合しなかった形はふらつくような音階の数を生成するため組み合わせられる。したがって、21平均律は合理的で説得力のある、伝統的な音楽のさまざまなテトラコードの形をもったメロディーをコピーしたものとすることができる。
ランク2テンペラメント
| Periods
per octave |
Generator | Temperaments |
|---|---|---|
| 1 | 1\21 | Escapade |
| 1 | 2\21 | Miracle |
| 1 | 4\21 | Slendric/Gorgo/Gidorah |
| 1 | 5\21 | Subklei |
| 1 | 8\21 | Tridec |
| 1 | 10\21 | Triton |
| 3 | 1\21 | |
| 3 | 2\21 | Augmented/August |
| 3 | 3\21 | |
| 7 | 1\21 | Whitewood |
13リミットコンマをなだらかにする
21平均律のヴァルを ⟨21 33 49 59 73 78] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
| 2187/2048 | | -11 7 > | 113.69 | Apotome | |
| 128/125 | | 7 0 -3 > | 41.06 | Diesis | Augmented Comma |
| 9931568/9752117 | | -25 7 6 > | 31.57 | Ampersand's Comma | |
| 9193891/9143623 | | 32 -7 -9 > | 9.49 | Escapade Comma | |
| 1029/1000 | | -3 1 -3 3 > | 49.49 | Keega | |
| 36/35 | | 2 2 -1 -1 > | 48.77 | Septimal Quarter Tone | |
| 9859966/9733137 | | -10 7 8 -7 > | 22.41 | Blackjackisma | |
| 1029/1024 | | -10 1 0 3 > | 8.43 | Gamelisma | |
| 225/224 | | -5 2 2 -1 > | 7.71 | Septimal Kleisma | Marvel Comma |
| 16875/16807 | | 0 3 4 -5 > | 6.99 | Mirkwai | |
| 2401/2400 | | -5 -1 -2 4 > | 0.72 | Breedsma | |
| 394839/394762 | | 47 -7 -7 -7 > | 0.34 | Akjaysma | 5\7 Octave Comma |
| 99/98 | | -1 2 0 -2 1 > | 17.58 | Mothwellsma | |
| 176/175 | | 4 0 -2 -1 1 > | 9.86 | Valinorsma | |
| 4000/3993 | | 5 -1 3 0 -3 > | 3.03 | Wizardharry |