21平均律

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素因数分解	3 × 7
音程	57.1429¢
完全五度	12\21 (685.714¢) (→4\7)
半音比 (A1:m2)	0:3 (0¢ : 171.4¢)
一貫限度	3
厳密一貫限度	3

21平均律は、7平均律類と増の音のしっかりとした特徴を提供する。またいくつかの良い協和の可能性を提供し、また、アポトメーのような面白い音程を提供する。21平均律システムは3つの7平均律が結びついたものとして扱うことができ、また均等な7音音階として扱うことができ、また7つの3平均律が「増加された」トライアドとして扱うことができる。968.826セントの7/4は21音からたったの2.6セントのみはずれており、ほかの平均律よりも近い。

理論

奇数倍音

21EDOにおける奇数倍音の近似

倍音		3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23
誤差	絶対 (¢)	-16.2	+13.7	+2.6	+24.7	+20.1	+16.6	-2.6	+9.3	-11.8	-13.6	+0.3
	相対 (%)	-28.4	+24.0	+4.6	+43.2	+35.2	+29.1	-4.5	+16.3	-20.6	-23.9	+0.5
ステップ (reduced)		33 (12)	49 (7)	59 (17)	67 (4)	73 (10)	78 (15)	82 (19)	86 (2)	89 (5)	92 (8)	95 (11)

純正音程近似

純正音程のマッピング

以下の表は、21平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。

21平均律内の15奇数リミット音程（直接近似, 一貫性の無いものも含む）

音程と補音程	誤差 (絶対, ¢)	誤差 (相対, %)
1/1, 2/1	0.000	0.0
15/8, 16/15	2.554	4.5
7/4, 8/7	2.603	4.6
13/10, 20/13	2.929	5.1
13/11, 22/13	3.495	6.1
11/9, 18/11	4.551	8.0
15/14, 28/15	5.157	9.0
11/10, 20/11	6.424	11.2
13/9, 18/13	8.046	14.1
9/5, 10/9	10.975	19.2
7/5, 10/7	11.084	19.4
5/4, 8/5	13.686	24.0
13/7, 14/13	14.013	24.5
3/2, 4/3	16.241	28.4
13/8, 16/13	16.615	29.1
11/7, 14/11	17.508	30.6
7/6, 12/7	18.843	33.0
15/13, 26/15	19.170	33.5
11/8, 16/11	20.111	35.2
11/6, 12/11	20.792	36.4
9/7, 14/9	22.059	38.6
15/11, 22/15	22.665	39.7
13/12, 24/13	24.287	42.5
9/8, 16/9	24.661	43.2
5/3, 6/5	27.216	47.6

21平均律内の15奇数リミット音程（パテントヴァルによるマッピング）

音程と補音程	誤差 (絶対, ¢)	誤差 (相対, %)
1/1, 2/1	0.000	0.0
15/8, 16/15	2.554	4.5
7/4, 8/7	2.603	4.6
13/10, 20/13	2.929	5.1
13/11, 22/13	3.495	6.1
15/14, 28/15	5.157	9.0
11/10, 20/11	6.424	11.2
7/5, 10/7	11.084	19.4
5/4, 8/5	13.686	24.0
13/7, 14/13	14.013	24.5
3/2, 4/3	16.241	28.4
13/8, 16/13	16.615	29.1
11/7, 14/11	17.508	30.6
7/6, 12/7	18.843	33.0
15/13, 26/15	19.170	33.5
11/8, 16/11	20.111	35.2
15/11, 22/15	22.665	39.7
5/3, 6/5	29.927	52.4
9/8, 16/9	32.481	56.8
13/12, 24/13	32.856	57.5
9/7, 14/9	35.084	61.4
11/6, 12/11	36.351	63.6
9/5, 10/9	46.168	80.8
13/9, 18/13	49.097	85.9
11/9, 18/11	52.592	92.0

21平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=21, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

EDO	interval	cent	DMS	The "neighborhood" of JI	Japanese name	ratio	diff cent	cent	diff DMS	DMS
21	0	0.00	0.00
	1	57.14	17.14
	2	114.29	34.29	minor diatonic semitone	ダイアトニックの短2度	16/15	2.55	111.73	0.77	33.52
	2	114.29	34.29	major diatonic semitone	ダイアトニックの長2度	15/14	-5.16	119.44	-1.55	35.83
	2	114.29	34.29	2/3-tone	2/3全音	14/13	-14.01	128.30	-4.20	38.49
	3	171.43	51.43	minor whole tone	小全音	11/10	6.42	165.00	1.93	49.50
	3	171.43	51.43	minor whole tone	小全音	10/9	-10.98	182.40	-3.29	54.72
	4	228.57	68.57	septimal whole tone	7リミットの全音	8/7	-2.60	231.17	-0.78	69.35
	5	285.71	85.71	tridecimal minor third	13リミットの短3度	13/11	-3.50	289.21	-1.05	86.76
	6	342.86	102.86	undecimal neutral third	11リミットの中立3度	11/9	-4.55	347.41	-1.37	104.22
	6	342.86	102.86	tridecimal neutral third	13リミットの中立3度	16/13	-16.62	359.47	-4.98	107.84
	7	400.00	120.00	major third	長3度	5/4	13.69	386.31	4.11	115.89
	8	457.14	137.14	tridecimal semi-diminished fourth	13リミットの準減4度	13/10	2.93	454.21	0.88	136.26
	9	514.29	154.29	perfect fourth	完全4度	4/3	16.24	498.04	4.87	149.41
	10	571.43	171.43	septimal or Huygens' tritone, BP fourth	7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度	7/5	-11.08	582.51	-3.33	174.75
	11	628.57	188.57	Euler's tritone	レオンハルト・オイラーの3全音	10/7	11.08	617.49	3.33	185.25
	11	628.57	188.57	tridecimal diminished fifth	13リミットの減5度	13/9	-8.05	636.62	-2.41	190.99
	12	685.71	205.71	perfect fifth	完全5度	3/2	-16.24	701.96	-4.87	210.59
	13	742.86	222.86
	14	800.00	240.00	minor sixth	短6度	8/5	-13.69	813.69	-4.11	244.11
	15	857.14	257.14	tridecimal neutral sixth	13リミットの中立6度	13/8	16.62	840.53	4.98	252.16
	16	914.29	274.29
	17	971.43	291.43	harmonic seventh	第7倍音	7/4	2.60	968.83	0.78	290.65
	18	1028.57	308.57	just minor seventh, BP seventh	純正短7度、ボーレン・ピアスの7度	9/5	10.98	1017.60	3.29	305.28
	19	1085.71	325.71	16/3-tone	16/3全音	13/7	14.01	1071.70	4.20	321.51
	19	1085.71	325.71	classic major seventh	古典的な長7度	15/8	-2.55	1088.27	-0.77	326.48
	20	1142.86	342.86
	21	1200.00	360.00

テンペラメントとしての21平均律

ダイアトニックに関連した視点から見ると、21平均律は2度の4つのタイプ（subminor、minor、submajor、supermajor）、そして3度の3つのタイプ（subminor、neutral、major）、third-fourth（supermajor 3rdとも、狭い4度とも見なせる音程）、広い（鋭い）4度、そして狭い3全音、同様にこれらすべてのオクターブを分割したものを所有する。

テンペラメントの視点から見ると、21平均律は3と5、7、11、13による13リミットテンペラメントとして扱うことができる。しかし、21平均律が純正に近い倍音だけ7倍音である。一方、21平均律は例外的に3セント以下の値となる15、23、29倍音の鋭いチューニングであり、同様に27倍音とは8セント以内という合理的な近似を示す。そのようにして、2.7.15.23.27.29サブグループテンペラメントとして21平均律を扱うとき、より鋭い合理的なチューニングを認めることになる。なぜなら21平均律の音程はそれぞれ29アドリミット内で述べられるからである。21平均律はまた、2.9/5.11/5.13/5.17/5.35/5サブグループとしてもよく働き、これはよりセンシティブな可能性である。

21音音階

• augment6 (en)
• augment9 (en)
• augment12 (en)

21平均律の3和音の響き

21平均律のおもしろい特徴の1つは、さまざまなトライアドのバラエティーである。228.6、285.7、342.9、400、457.1セントは3度のカテゴリーの機能をし、arto、minor、neutral、major、tendoの3度といった聞きなれたダイアトニック音程のカテゴリーとなる。21平均律の狭い5度と5つのタイプの3度で3和音を作ることができる。付け加えるなら、幾分か注目すべき倍音による代替3和音は以下になる。

Steps	Cents	Ratio
0-5-10	0-286-571	23:27:32
0-4-11	0-229-629	7:8:10
0-6-11	0-343-629	9:11:13
0-5-13	0-286-743	11:13:17
0-8-13	0-457-743	13:17:20
0-5-15	0-286-857	11:13:18

21平均律のMOS音階

21平均律は子平均律として3と7を含むため、7音MOS音階は持たず、1/3オクターブをピリオドとして反復した音階を持つ。1/3オクターブピリオドを使う7リミットの響き（0-7-12-17という4:5:6:7コードにもとづく）のため、もっとも効率的なハーモニーの音階が産出される。3L6sの9音音階（12平均律のTcherpnin音階に関連する）は、素晴らしい例である。

フルオクターブをピリオドとする音階の場合、21平均律のたった6音程が独特の音階を作る。121、221、421、521、821、1021である。他の音程は7平均律または3平均律、またはその他の音階の反復で生成される。

21平均律のテトラコード音階

21平均律がいくつかの7音MOS音階を欠如しているため、21平均律はさまざまな便利で面白い7音音階を構築でき、それはMOSジェネレーターの代わりのテトラコードとして使える。21平均律の4度は9ステップで、次のような3パートで分割できる。

Step Pattern	Cents	Name*
3, 3, 3	0-171-343-514	Equable diatonic
4, 3, 2	0-229-400-514	Soft diatonic
4, 4, 1	0-229-457-514	Intense diatonic
5, 3, 1	0-286-457-514	Archytas chromatic
5, 2, 2	0-286-400-514	Weak chromatic
6, 2, 1	0-343-457-514	Strong enharmonic
7, 1, 1	0-400-457-514	Pythagorean enharmonic

ノート：これらの名前はGreek氏の古いtetrachordal generaによって集められているため、よりよいものがあれば書き換えてほしい。

これら7つの基本的なパターンは、また順序を変え回転させ、結果的に28のテトラコードを生成させる。結合、また結合しなかった形はふらつくような音階の数を生成するため組み合わせられる。したがって、21平均律は合理的で説得力のある、伝統的な音楽のさまざまなテトラコードの形をもったメロディーをコピーしたものとすることができる。

ランク2テンペラメント

悪い21EDOランク2テンペラメントのリスト

Periods per octave	Generator	Temperaments
1	1\21	Escapade
1	2\21	Miracle
1	4\21	Slendric/Gorgo/Gidorah
1	5\21	Subklei
1	8\21	Tridec
1	10\21	Triton
3	1\21
3	2\21	Augmented/August
3	3\21
7	1\21	Whitewood

13リミットコンマをなだらかにする

21平均律のヴァルを ⟨21 33 49 59 73 78] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

2187/2048	| -11 7 >	113.69	Apotome
128/125	| 7 0 -3 >	41.06	Diesis	Augmented Comma
9931568/9752117	| -25 7 6 >	31.57	Ampersand's Comma
9193891/9143623	| 32 -7 -9 >	9.49	Escapade Comma
1029/1000	| -3 1 -3 3 >	49.49	Keega
36/35	| 2 2 -1 -1 >	48.77	Septimal Quarter Tone
9859966/9733137	| -10 7 8 -7 >	22.41	Blackjackisma
1029/1024	| -10 1 0 3 >	8.43	Gamelisma
225/224	| -5 2 2 -1 >	7.71	Septimal Kleisma	Marvel Comma
16875/16807	| 0 3 4 -5 >	6.99	Mirkwai
2401/2400	| -5 -1 -2 4 >	0.72	Breedsma
394839/394762	| 47 -7 -7 -7 >	0.34	Akjaysma	5\7 Octave Comma
99/98	| -1 2 0 -2 1 >	17.58	Mothwellsma
176/175	| 4 0 -2 -1 1 >	9.86	Valinorsma
4000/3993	| 5 -1 3 0 -3 >	3.03	Wizardharry