18平均律
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“3音システム”
理論
奇数倍音
| 倍音 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 誤差 | 絶対 (¢) | +31.4 | +13.7 | +31.2 | -3.9 | -18.0 | +26.1 | -21.6 | +28.4 | -30.8 | -4.1 | -28.3 |
| 相対 (%) | +47.1 | +20.5 | +46.8 | -5.9 | -27.0 | +39.2 | -32.4 | +42.6 | -46.3 | -6.2 | -42.4 | |
| ステップ (reduced) |
29 (11) |
42 (6) |
51 (15) |
57 (3) |
62 (8) |
67 (13) |
70 (16) |
74 (2) |
76 (4) |
79 (7) |
81 (9) | |
純正音程近似
純正音程のマッピング
以下の表は、18平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 7/6, 12/7 | 0.204 | 0.3 |
| 15/11, 22/15 | 3.617 | 5.4 |
| 9/8, 16/9 | 3.910 | 5.9 |
| 13/7, 14/13 | 5.035 | 7.6 |
| 13/12, 24/13 | 5.239 | 7.9 |
| 13/10, 20/13 | 12.453 | 18.7 |
| 5/4, 8/5 | 13.686 | 20.5 |
| 15/14, 28/15 | 13.891 | 20.8 |
| 11/9, 18/11 | 14.075 | 21.1 |
| 11/6, 12/11 | 17.304 | 26.0 |
| 7/5, 10/7 | 17.488 | 26.2 |
| 11/7, 14/11 | 17.508 | 26.3 |
| 9/5, 10/9 | 17.596 | 26.4 |
| 5/3, 6/5 | 17.692 | 26.5 |
| 11/8, 16/11 | 17.985 | 27.0 |
| 15/13, 26/15 | 18.926 | 28.4 |
| 15/8, 16/15 | 21.602 | 32.4 |
| 13/11, 22/13 | 22.543 | 33.8 |
| 13/8, 16/13 | 26.139 | 39.2 |
| 13/9, 18/13 | 30.049 | 45.1 |
| 7/4, 8/7 | 31.174 | 46.8 |
| 3/2, 4/3 | 31.378 | 47.1 |
| 9/7, 14/9 | 31.583 | 47.4 |
| 11/10, 20/11 | 31.671 | 47.5 |
| 音程と補音程 | 誤差 (絶対, ¢) | 誤差 (相対, %) |
|---|---|---|
| 1/1, 2/1 | 0.000 | 0.0 |
| 7/6, 12/7 | 0.204 | 0.3 |
| 13/7, 14/13 | 5.035 | 7.6 |
| 13/12, 24/13 | 5.239 | 7.9 |
| 13/10, 20/13 | 12.453 | 18.7 |
| 5/4, 8/5 | 13.686 | 20.5 |
| 15/14, 28/15 | 13.891 | 20.8 |
| 7/5, 10/7 | 17.488 | 26.2 |
| 5/3, 6/5 | 17.692 | 26.5 |
| 11/8, 16/11 | 17.985 | 27.0 |
| 15/13, 26/15 | 18.926 | 28.4 |
| 13/8, 16/13 | 26.139 | 39.2 |
| 7/4, 8/7 | 31.174 | 46.8 |
| 3/2, 4/3 | 31.378 | 47.1 |
| 9/7, 14/9 | 31.583 | 47.4 |
| 11/10, 20/11 | 31.671 | 47.5 |
| 13/9, 18/13 | 36.618 | 54.9 |
| 13/11, 22/13 | 44.124 | 66.2 |
| 15/8, 16/15 | 45.065 | 67.6 |
| 9/5, 10/9 | 49.070 | 73.6 |
| 11/7, 14/11 | 49.159 | 73.7 |
| 11/6, 12/11 | 49.363 | 74.0 |
| 9/8, 16/9 | 62.757 | 94.1 |
| 15/11, 22/15 | 63.049 | 94.6 |
| 11/9, 18/11 | 80.741 | 121.1 |
基本的な特徴
18平均律はオクターブを、それぞれ約66.667セントで18個のパートに分割したものである。30セントのエラー（純正音程とのずれ）を許容しない限り、12平均律の3度、5度、7度の響きには全く近くない。しかしながら、9/8、7/6、21/16、15/11、12/7、16/9、そして13/7のチューニングには最も近づく。それはまた、36/35をテンパーアウトしない、5:6:7のハーモニックコードシリーズに近似する、最も小さい平均律である。それゆえ、6/5にも7/6にも近似するインターバルを使用しない。
実際に利用できる素晴らしい協和音にアクセスするため、とても「一般的に実践的ではない」アプローチをしなければならない。これは、通常のクローズボイシング「根音-3度-5度」コードタイプと、より圧縮された、またはより拡大され代理で使われるコードを避けることを意味する。18平均律はたぶん、17リミット4*18サブグループの、2.9.75.21.55.39.51純正律サブグループとして扱われる。このサブグループ上では、完全な17-リミット上の72として、同様のコンマを正確にテンパーアウトする。そして正確に同様のチューニングをする。サブグループは1つのコードにたどり着く。例えば、32:36:39:42:51:55:64:75。18平均律の場合、0-3-5-7-12-14-18-22。コードのトランスポーズや転回、またそのサブコードはたくさんの協和源を提供する。
しかしながら、使用するときは少し低い。18平均律は28/27（62.96セント）をテンパーアウトする、そして3つの5度、3/2（701.96）より高い（1118=733.33cent）。したがって、9/8は非常に7/6に似ている。9/8（203.91）として200セント（318）に比較的近く、それは8/7（231.17）とも認識できる。この扱いは大きい5度によって生成された音階に当てはまる。これはFatherテンペラメントとして知られる。もし本当にこのようにするならば、全てシャープされた、3/2と半オクターブからなる音階で生成される。600セントは11/8（551.32セント）、そして866セントを13/8（840.53セント）と呼ぶ。もしそれが可能ならば、たくさんの人はmavilaテンペラメントを好むだろう。
18平均律はサブ平均律2、3、6、そして9をもつ。そして18平均律自体は36平均律と72平均律の4分の1である。そのことはとてもフラットされた4度をもつ点と、良いサブマイナーサードをもつ点で、13平均律と類似点を生む。11平均律においては短3度がとてもシャープされており、その2つでとてもフラットされた5度が、16平均律とはシャープされた4度とフラットされた5度が、17平均律と19平均律とは狭い半音、そしてその半音3つが包む全音が類似点である。一般的な慣習から大きく逸れた素晴らしいチューニングである。
18平均律の音程と近似値
各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=18, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。
| EDO | interval | cent | DMS | The "neighborhood" of JI | Japanese name | ratio | diff cent | cent | diff DMS | DMS |
| 18 | 0 | 0.00 | 0.00 | |||||||
| 1 | 66.67 | 20.00 | ||||||||
| 2 | 133.33 | 40.00 | major diatonic semitone | ダイアトニックの長2度 | 15/14 | 13.89 | 119.44 | 4.17 | 35.83 | |
| 2 | 133.33 | 40.00 | 2/3-tone | 2/3全音 | 14/13 | 5.04 | 128.30 | 1.51 | 38.49 | |
| 2 | 133.33 | 40.00 | tridecimal 2/3-tone | 13リミットの2/3音 | 13/12 | -5.24 | 138.57 | -1.57 | 41.57 | |
| 2 | 133.33 | 40.00 | 3/4-tone, undecimal neutral second | 3/4全音、11リミットの中立的な2度 | 12/11 | -17.30 | 150.64 | -5.19 | 45.19 | |
| 3 | 200.00 | 60.00 | minor whole tone | 小全音 | 10/9 | 17.60 | 182.40 | 5.28 | 54.72 | |
| 3 | 200.00 | 60.00 | major whole tone | 大全音 | 9/8 | -3.91 | 203.91 | -1.17 | 61.17 | |
| 4 | 266.67 | 80.00 | tridecimal 5/4-tone | 13リミットの5/4全音 | 15/13 | 18.93 | 247.74 | 5.68 | 74.32 | |
| 4 | 266.67 | 80.00 | septimal minor third | 7リミットの短3度 | 7/6 | -0.20 | 266.87 | -0.06 | 80.06 | |
| 5 | 333.33 | 100.00 | minor third | 短3度 | 6/5 | 17.69 | 315.64 | 5.31 | 94.69 | |
| 5 | 333.33 | 100.00 | undecimal neutral third | 11リミットの中立3度 | 11/9 | -14.07 | 347.41 | -4.22 | 104.22 | |
| 6 | 400.00 | 120.00 | major third | 長3度 | 5/4 | 13.69 | 386.31 | 4.11 | 115.89 | |
| 6 | 400.00 | 120.00 | undecimal diminished fourth or major third | 11リミットの減4度または長3度 | 14/11 | -17.51 | 417.51 | -5.25 | 125.25 | |
| 7 | 466.67 | 140.00 | tridecimal semi-diminished fourth | 13リミットの準減4度 | 13/10 | 12.45 | 454.21 | 3.74 | 136.26 | |
| 8 | 533.33 | 160.00 | undecimal augmented fourth | 11リミットの増4度 | 15/11 | -3.62 | 536.95 | -1.09 | 161.09 | |
| 8 | 533.33 | 160.00 | undecimal semi-augmented fourth | 11リミットの準増5度 | 11/8 | -17.98 | 551.32 | -5.40 | 165.40 | |
| 9 | 600.00 | 180.00 | septimal or Huygens' tritone, BP fourth | 7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度 | 7/5 | 17.49 | 582.51 | 5.25 | 174.75 | |
| 9 | 600.00 | 180.00 | Euler's tritone | レオンハルト・オイラーの3全音 | 10/7 | -17.49 | 617.49 | -5.25 | 185.25 | |
| 10 | 666.67 | 200.00 | undecimal semi-diminished fifth | 11リミットの準減5度 | 16/11 | 17.98 | 648.68 | 5.40 | 194.60 | |
| 11 | 733.33 | 220.00 | ||||||||
| 12 | 800.00 | 240.00 | undecimal augmented fifth | 11リミットの増5度 | 11/7 | 17.51 | 782.49 | 5.25 | 234.75 | |
| 12 | 800.00 | 240.00 | major sixth | 長6度 | 8/5 | -13.69 | 813.69 | -4.11 | 244.11 | |
| 13 | 866.67 | 260.00 | major sixth, BP sixth | 長6度、ボーレン・ピアスの6度 | 5/3 | -17.69 | 884.36 | -5.31 | 265.31 | |
| 14 | 933.33 | 280.00 | septimal major sixth | 7リミットの長6度 | 12/7 | 0.20 | 933.13 | 0.06 | 279.94 | |
| 15 | 1000.00 | 300.00 | Pythagorean minor seventh | ピタゴラスの短7度 | 16/9 | 3.91 | 996.09 | 1.17 | 298.83 | |
| 15 | 1000.00 | 300.00 | just minor seventh, BP seventh | 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 | 9/5 | -17.60 | 1017.60 | -5.28 | 305.28 | |
| 16 | 1066.67 | 320.00 | 21/4-tone, undecimal neutral seventh | 21/4全音、11リミットの中立7度 | 11/6 | 17.30 | 1049.36 | 5.19 | 314.81 | |
| 16 | 1066.67 | 320.00 | 16/3-tone | 16/3全音 | 13/7 | -5.04 | 1071.70 | -1.51 | 321.51 | |
| 17 | 1133.33 | 340.00 | ||||||||
| 18 | 1200.00 | 360.00 |
利便性あるMOS音階
メモ：このリストは9平均律で見つけられる音階を含まない
ペンタトニック（5音音階）
3L2sのFatherペンタトニック：4 4 3 4 3
ヘクサトニック（6音音階）
6音均等の全音音階：3 3 3 3 3 3
4L2sのBicycle：4 4 1 4 4 1
2L4sのRiceヘクサトニック：2 5 2 2 5 2
ヘプタトニック（7音音階）
4L3sのAmity/Mishヘプタトニック：3 2 3 2 3 3 2
オクタトニック（8音音階）
5L3sのFatherオクタトニック：3 1 3 3 1 3 3 1
2L6sのRiceオクタトニック：2 2 3 2 2 2 3 2
デカトニック（10音音階）
8L2sのBiggieデカトニック： 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
ギターアプリケーション
18平均律は、初めてフレットをし直すときに理想的な音階である。なぜなら12平均律からすべての偶数の数を保持できるからである。つまり1/3の仕事が終わっているのである。
「Fatherオクタトニック」音階は、6限ギターにおいて、4つの466.667セント音程と、2弦と3弦の間に生まれる1つの533.333セント音程による「逆スタンダード」チューニングでとても簡単にマップされる。そして14や16、21のような平均律より、やわからな学習曲線を作る。すべての平均律はほとんどすべて一様に、解放に4度のシャープされたものと短3度、中立3度のシリーズがチューニングされている。そしてそれらの音階はしばしば、手動で大きく拡大され位置が移動される。
コンマをなだらかにする
18平均律のヴァルを ⟨18 29 42 51 62 67] とみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。
| Comma | Monzo | Value (Cents) | Name 1 | Name 2 |
|---|---|---|---|---|
| 128/125 | | 7 0 -3 > | 41.06 | Diesis | Augmented Comma |
| 1212717/1210381 | | 23 6 -14 > | 3.34 | Vishnuzma | Semisuper |
| 50/49 | | 1 0 2 -2 > | 34.98 | Tritonic Diesis | Jubilisma |
| 686/675 | | 1 -3 -2 3 > | 27.99 | Senga | |
| 875/864 | | -5 -3 3 1 > | 21.90 | Keema | |
| 1728/1715 | | 6 3 -1 -3 > | 13.07 | Orwellisma | Orwell Comma |
| 16875/16807 | | 0 3 4 -5 > | 6.99 | Mirkwai | |
| 3136/3125 | | 6 0 -5 2 > | 6.08 | Hemimean | |
| 99/98 | | -1 2 0 -2 1 > | 17.58 | Mothwellsma | |
| 100/99 | | 2 -2 2 0 -1 > | 17.40 | Ptolemisma | |
| 65536/65219 | | 16 0 0 -2 -3 > | 8.39 | Orgonisma | |
| 385/384 | | -7 -1 1 1 1 > | 4.50 | Keenanisma | |
| 9801/9800 | | -3 4 -2 -2 2 > | 0.18 | Kalisma | Gauss' Comma |
| 91/90 | | -1 -2 -1 1 1 > | 19.13 | Superleap |