5平均律

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素因数分解 5（素数）
音程 240¢ 
完全五度 3\5 (720¢)
(convergent)
半音比 (A1:m2) 1:0 (240¢ : 0¢)
一貫限度 9
厳密一貫限度 3
特異性

理論

素数倍音

5EDOにおける素数倍音の近似
倍音 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
誤差 絶対 (¢) +0 +18 +94 -9 -71 +119 -105 -58 +92 -70 +55
相対 (%) +0.0 +7.5 +39.0 -3.7 -29.7 +49.8 -43.7 -24.0 +38.2 -29.0 +22.9
ステップ
(reduced) 		5
(0) 		8
(3) 		12
(2) 		14
(4) 		17
(2) 		19
(4) 		20
(0) 		21
(1) 		23
(3) 		24
(4) 		25
(0)

各音の間隔が均等な 5 音

5平均律は 1200 セントのオクターブを 5 つに均等分割したものであり、最小音程は正確に 240セントで、その振動比率は2のルート5である。5平均律は２平均律と３平均律につぐ3番目の素数の平均律となる。最も大切なことは、5平均律は異質な響き（ゼンハーモニック、xenharmonic）の音程を含む最小平均律だということである。1・2・3・4平均律はどれも12平均律の子グループ となる。

5平均律音階の音を聴く

音楽家にとって、5平均律は異質な響きの音の経験をするのにあたり、代わりの利かない重要なものである。Wikipedia、または Wikimedia Commons で活動する Hyacinth という著者は、たくさんのゼンハーモニック MIDI と、それらを自由に改変してよい寛大な著作権思想を持っている。以下に示すものは 5 平均律の MIDI である。

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:5-tet_scale_on_C.mid

純正音程近似

純正音程のマッピング

以下の表は、5平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。

5平均律内の15奇数リミット音程（直接近似, 一貫性の無いものも含む）
音程と補音程 誤差 (絶対, ¢) 誤差 (相対, %)
1/1, 2/1 0.000 0.0
15/13, 26/15 7.741 3.2
7/4, 8/7 8.826 3.7
3/2, 4/3 18.045 7.5
13/10, 20/13 25.786 10.7
7/6, 12/7 26.871 11.2
9/8, 16/9 36.090 15.0
9/7, 14/9 44.916 18.7
13/11, 22/13 49.210 20.5
15/11, 22/15 56.951 23.7
9/5, 10/9 57.596 24.0
11/7, 14/11 62.492 26.0
11/8, 16/11 71.318 29.7
11/10, 20/11 74.996 31.2
5/3, 6/5 75.641 31.5
13/9, 18/13 83.382 34.7
11/6, 12/11 89.363 37.2
5/4, 8/5 93.686 39.0
13/12, 24/13 101.427 42.3
7/5, 10/7 102.512 42.7
11/9, 18/11 107.408 44.8
13/7, 14/13 111.702 46.5
15/8, 16/15 111.731 46.6
15/14, 28/15 119.443 49.8
13/8, 16/13 119.472 49.8
5平均律内の15奇数リミット音程（パテントヴァルによるマッピング）
音程と補音程 誤差 (絶対, ¢) 誤差 (相対, %)
1/1, 2/1 0.000 0.0
15/13, 26/15 7.741 3.2
7/4, 8/7 8.826 3.7
3/2, 4/3 18.045 7.5
13/10, 20/13 25.786 10.7
7/6, 12/7 26.871 11.2
9/8, 16/9 36.090 15.0
9/7, 14/9 44.916 18.7
9/5, 10/9 57.596 24.0
11/7, 14/11 62.492 26.0
11/8, 16/11 71.318 29.7
5/3, 6/5 75.641 31.5
13/9, 18/13 83.382 34.7
11/6, 12/11 89.363 37.2
5/4, 8/5 93.686 39.0
13/12, 24/13 101.427 42.3
7/5, 10/7 102.512 42.7
11/9, 18/11 107.408 44.8
15/8, 16/15 111.731 46.6
13/8, 16/13 119.472 49.8
15/14, 28/15 120.557 50.2
13/7, 14/13 128.298 53.5
11/10, 20/11 165.004 68.8
15/11, 22/15 183.049 76.3
13/11, 22/13 190.790 79.5

5 平均律の音程と近似値

英語版Xenharmonic wikiで示されている音程と、各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。英語版で示されているものは主に、特徴的な音程と近似純正音程である。近似純正音程は各パラメータの数を上げればほぼ無限に生成される。その点原文の近似純正音程は適度に各パラメータが下げられているため、まとめることには大きな意義があると考えられる。

　各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は、edjirulerのパラメータを、[number of equal divisions=5, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.16]にして生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら(huygens-fokker)を参照のこと。

EDO interval cent DMS The "neighborhood" of JI Japanese name ratio diff cent cent diff DMS DMS
5 0 0.00 0.00
1 240.00 72.00 major whole tone 大全音 9/8 36.09 203.91 10.83 61.17
1 240.00 72.00 septimal whole tone 7リミットの全音 8/7 8.83 231.17 2.65 69.35
1 240.00 72.00 classic diminished third 古典的な減3度 144/125 -4.97 244.97 -1.49 73.49
1 240.00 72.00 tridecimal 5/4-tone 13リミットの5/4全音 15/13 -7.74 247.74 -2.32 74.32
1 240.00 72.00 semi-augmented whole tone 準増2度 125/108 -13.08 253.08 -3.92 75.92
1 240.00 72.00 septimal minor third 7リミットの短3度 7/6 -26.87 266.87 -8.06 80.06
2 480.00 144.00 septimal major third, BP third 7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度 9/7 44.92 435.08 13.47 130.53
2 480.00 144.00 tridecimal semi-diminished fourth 13リミットの準減4度 13/10 25.79 454.21 7.74 136.26
2 480.00 144.00 narrow fourth 狭い4度 21/16 9.22 470.78 2.77 141.23
2 480.00 144.00 2 pentatones 2つのペンタトーン 33/25 -0.65 480.65 -0.19 144.19
2 480.00 144.00 perfect fourth 完全4度 4/3 -18.04 498.04 -5.41 149.41
3 720.00 216.00 perfect fifth 完全5度 3/2 18.04 701.96 5.41 210.59
3 720.00 216.00 3 pentatones 3つのペンタトーン 50/33 0.65 719.35 0.19 215.81
3 720.00 216.00 wide fifth 広い5度 32/21 -9.22 729.22 -2.77 218.77
4 960.00 288.00 septimal major sixth 7リミットの長6度 12/7 26.87 933.13 8.06 279.94
4 960.00 288.00 semi-augmented sixth 準増6度 216/125 13.08 946.92 3.92 284.08
4 960.00 288.00 classic augmented sixth 古典的な増6度 125/72 4.97 955.03 1.49 286.51
4 960.00 288.00 harmonic seventh 第7倍音 7/4 -8.83 968.83 -2.65 290.65
4 960.00 288.00 Pythagorean minor seventh ピタゴラスの短7度 16/9 -36.09 996.09 -10.83 298.83
4 960.00 288.00 just minor seventh, BP seventh 純正短7度、ボーレン・ピアスの7度 9/5 -57.60 1017.60 -17.28 305.28
5 1200.00 360.00

関連した音階

  • 基数からして、5 平均律はほかのペンタトニックスケールと関係がある。とりわけたくさんのスレンドロの音に近い。スレンドロとはインドネシアのガムラン音楽における調律の一種である。
  • 「5 度」の音程サイズに関する興味のため、たくさんのオクターブではない 5 平均律の「拡大解釈の姉妹」がある (4/3 の平方根・3/2 の立方根・3 の 8 乗根など)。
  • 同様の理由で、たくさんの「円形の姉妹」がある。たとえば「大きな 5 度(50/33)」で 5度連鎖を作ることが可能だ。それは(50/33)^5=7.985099 という計算ができるため、およそ 3 オクターブと 3.227 セントのフラットで終結する。3 オクターブは、根音に対し 8 倍(2^3)の音である。

円分割

5 は素数なので、5 平均律は子グループの平均律(sub-edos)をもたない。単純な円だけである。5 平均律の 1 ステップの円、2、3、4 ステップの円ができる。

Cycle of seconds: 0-1-2-3-4-0

Cycle of fourths: 0-2-4-1-3-0

Cycle of fifths: 0-3-1-4-2-0

Cycle of sevenths: 0-4-3-2-1-0

記譜法

  • Reinhard のセント記譜
  • Sagittal:E=F、B=C がエンハーモニックスの、5 線譜を使用した自然な記譜
  • 最高音とベースラインがハイブリットの 4 線譜

ハーモニー

5 平均律は強く協和するものも、著しく不協和になるものも存在しない。5 平均律の単位音程である 240 セントの音程は長 2 度と短 3 度の役割を兼ねる。そしてまた、960 セントの音程は長 6 度と短 7度の役割を兼ねる。4 度音程は 4:3 の純正音程から約 18 セント狭くされている。それはいくぶん「乾いた」音程として認識させる。5 度音程は同様に純正音程から約 18 セント広くされており、認識しやすい不協和がある。

重要なコード:

  • 0+1+3
  • 0+2+3
  • 0+1+3+4
  • 0+2+3+4

メロディー

“スタンダード”なメロディーのために使うことが可能な、最も小さい平均律である。比較的大きい 240 セントのステップは、メロディー構築のための長 2 度として使われることができる。その音階は全音音階のほかに、ペンタトニックの特徴ももっている。

コードまたは音階は?

どちらにしろ、始めたところからとても離れ、さ迷い歩くようなコードや音階を作るのは難しい。しかしながら、ペンタトニックと同じ形で、最低限のメロディーを作ることができる音階がある。

なだらかにするコンマ

5 平均律 (<5 8 12 14 17 19|ヴァル (val))では、次のコンマを緩和する。

<5 8 12 14 17 19|ヴァルは次のような意味である。5 平均律で最初の素数 2(1200 セント)を表現するには 1 ステップ 240 セントが 5 つ必要である。ここで止めた場合、2 リミットテンペラメントとなる。次の素数 3(1901.96 セント)を表現するには、240 セントが8 ステップ (240 × 8 = 1920 セント)必要である、ということである。同様に、次の素数 5 は12 ステップ、7 は 14 ステップとなる。

Comma Value (cents) Name Second Name Third Name Val
256/243 90.225 Limma Pythagorean Minor 2nd | 8 -5 >
81/80 21.506 Syntonic Comma Didymos Comma Meantone Comma | -4 4 -1 >
2889416/2882415 4.200 Vulture | 24 -21 4 >
36/35 48.770 Septimal Quarter Tone | 2 2 -1 -1 >
49/48 35.697 Slendro Diesis | -4 -1 0 2 >
64/63 27.264 Septimal Comma Archytas' Comma Leipziger Komma | 6 -2 0 -1 >
245/243 14.191 Sensamagic | 0 -5 1 2 >
1728/1715 13.074 Orwellisma Orwell Comma | 6 3 -1 -3 >
1029/1024 8.433 Gamelisma | -10 1 0 3 >
19683/19600 7.316 Cataharry | -4 9 -2 -2 >
5120/5103 5.758 Hemifamity | 10 -6 1 -1 >
1065875/1063543 3.792 Wadisma | -26 -1 1 9 >
420175/419904 1.117 Wizma | -6 -8 2 5 >
99/98 17.576 Mothwellsma | -1 2 0 -2 1 >
896/891 9.688 Pentacircle | 7 -4 0 1 -1 >
385/384 4.503 Keenanisma | -7 -1 1 1 1 >
441/440 3.930 Werckisma | -3 2 -1 2 -1 >
3025/3024 0.572 Lehmerisma | -4 -3 2 -1 2 >
91/90 19.130 Superleap | -1 -2 -1 1 0 1 >
676/675 2.563 Parizeksma | 2 -3 -2 0 0 2 >
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