22平均律

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素因数分解 2 × 11
音程 54.5455¢ 
完全五度 13\22 (709.091¢)
半音比 (A1:m2) 3:1 (163.6¢ : 54.55¢)
一貫限度 11
厳密一貫限度 5
特異性

22平均律、または22音平均律（英: 22 equal divisions of the octave, 22 equal temperament, 22EDO, 22ET）は、レギュラー音律の観点から見ると、オクターブを均等な22個のステップに分割した調律システムである。

1ステップあたりの周波数比は2の22乗根 [math]2^{1/22}[/math] であり、約 54.545 ¢ である。9/8 (en) と 10/9 (en) を区別するので、これはミーントーンシステムではない。

理論

歴史

オクターブを同じサイズの22のステップに分割するという考えは、19世紀の音楽理論家R.H.M. Bosanquetに由来しているようである。インドの音楽理論 (en) におけるオクターブの22の不均等な分割に触発され、Bosanquetは22個への均等な分割により5リミットの音楽を許容できる精度で表現できることに注目した（なおインドの22律は22平均律とは異なることに注意）。この点については、20世紀に理論家のJosé Würschmidtが続き、彼はこれを19平均律の次の可能性として指摘した。また、J. Murray Barbourは、調律の歴史に関する古典的な調査書『Tuning and Temperament』の中で、これに続いた。

純正音程近似のクオリティの概観

22平均律のシステムは、実際には12と19に次ぐ5リミット (en) 音程をTE誤差 (en) 4 ¢/oct 以内に近似することができる3番目の平均律である。ゼータ積分やゼータギャップ平均律ではないが、少なくともゼータピーク平均律 (en) ではある。さらに12や19とは異なり、5リミットのみならず、7リミット、11リミット (en) 音程をも 3 ¢/oct 以内の誤差で近似できる。31平均律の方がはるかに優れてはいるものの、22平均律でもこれらの高リミットのハーモニーを利用できる。実際、22は11奇数リミット (en) を一貫して表す最小の等分割である。

22平均律は12や19とは異なり、ミーントーンシステムではない。22という数字があまり馴染みのない音楽領域の探求を可能にしある程度強制することも効果の一つであるが、最終的な効果はやはり（22という数が小さいので）22音ギターなどの適切に設計された楽器をライブパフォーマンスで使用することが容易いことであろう。

22平均律は、11平均律の 2.7.9.11.15.17 サブグループに倍音3と5を追加したものとして扱うこともでき（かなり正確な）2.3.5.7.11.17 サブグループ音律になる。31倍音の近似値が 0.5 ¢ 以内であり、かなり正確であることも注目に値する。また、特に 29/24 などの29倍音を含むいくつかの間隔も近似しており、これも 0.5 ¢ 以内で一致する。これにより、2.3.5.7.11.17.29.31 がもたらされる。

22平均律は、拡張された「クォーターコンマarchy」に非常に近い。これはテンパーアウトされるコンマがシントニックコンマ(81/80 (en) )である代わりにアルキュタスコンマ(64/63 (en) )であるところ以外は、クォーターコンマミーントーン (en) に似た構造のチューニングである。このため、ほぼ純粋な7倍音系長3度（9/7 (en) ）を持つ。

素数倍音

22EDOにおける素数倍音の近似
倍音 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
誤差 絶対 (¢) +0.0 +7.1 -4.5 +13.0 -5.9 -22.3 +4.1 -24.8 +26.3 +6.8 +0.4
相対 (%) +0.0 +13.1 -8.2 +23.8 -10.7 -41.0 +7.6 -45.4 +48.2 +12.4 +0.8
ステップ
(reduced) 		22
(0) 		35
(13) 		51
(7) 		62
(18) 		76
(10) 		81
(15) 		90
(2) 		93
(5) 		100
(12) 		107
(19) 		109
(21)

部分集合と上位集合

22は11で割り切れるため、12平均律が6平均律（全音音階）を演奏できるのと同じように、22平均律楽器は11平均律のあらゆる音楽を演奏できる。11平均律は、旋律的には12平均律（よく知られた 1:2:3 の比率で全音、半音、短3度）に聞こえる点で興味深いが、特に完全5度/4度や5リミット長3度/短6度がないため、和声的には大きく異なる。同様に、22平均律と24平均律は、どちらも4分音や短/中/長2度を含むため、旋律的に似ている。しかし、22平均律は24よりもはるかに優れた全体的なハーモニーを提供する。

サジタルノーテーション (en) では、11は22の1つおきの音として記譜できる。

音程

en:22edo solfegeも参照のこと。
ステップ セント 近似音程[1] アップ&ダウン表記 (en)
0 0.000 1/1 完全1度, ユニゾン P1 C
1 54.545 36/35, 34/33, 33/32, 32/31 短2度 m2 D♭
2 109.091 18/17, 17/16, 16/15, 15/14 アップ短2度 ^m2 ^D♭
3 163.636 12/11, 11/10, 10/9 ダウン長2度 vM2 vD
4 218.182 9/8, 17/15, 8/7 長2度 M2 D
5 272.727 20/17, 7/6 短3度 m3 E♭
6 327.273 6/5, 17/14, 11/9 アップ短3度 ^m3 ^E♭
7 381.818 5/4, 96/77 ダウン長3度 vM3 vE
8 436.364 14/11, 9/7, 22/17 長3度 M3 E
9 490.909 4/3 完全4度 P4 F
10 545.455 15/11, 11/8 アップ4度, 減5度 ^4, d5 ^F, G♭
11 600.000 7/5, 24/17, 17/12, 10/7 ダウン増4度, アップ減5度 vA4, ^d5 vF♯, ^G♭
12 654.545 16/11, 22/15 増4度, ダウン5度 A4, v5 F♯, vG
13 709.091 3/2 完全5度 P5 G
14 763.636 17/11, 14/9, 11/7 短6度 m6 A♭
15 818.182 8/5, 77/48 アップ短6度 ^m6 ^A♭
16 872.727 18/11, 28/17, 5/3 ダウン長6度 vM6 vA
17 927.273 17/10, 12/7 長6度 M6 A
18 981.818 7/4, 30/17, 16/9 短7度 m7 B♭
19 1036.364 9/5, 11/6, 20/11 アップ短7度 ^m7 ^B♭
20 1090.909 28/15, 15/8, 32/17, 17/9 ダウン長7度 vM7 vB
21 1145.455 31/16, 64/33, 33/17, 35/18 長7度 M7 B
22 1200.000 2/1 完全8度, オクターヴ P8 C
  1. ↑ 22平均律を2.3.5.7.11.17サブグループ音律として扱うことに基づいて、サイズの大きい順に並べられたいくつかの単純な比率。他のアプローチも可能。

記譜法

スーパーパイス/ポーキュパイン記法

スーパーパイス/ポーキュパイン記法は、スーパーパイス音律 (en) とポーキュパイン音律 (en) の両方から生まれた記法である。

まず、5L 2s スーパーパイス[7] による名前を付ける。ただし、不完全音程の前には “s-” をつけ、完全4度・完全5度は「完全」をとって代わりに「本位(natural, 暫定訳語)」を付ける。次に、1L 6s (en) ポーキュパイン[7] による名前を付ける。ただし、各音程の前には “p-” をつける。すると、2, 11, 20ステップ目以外は長、短、本位音程のいずれかにできる。この残った3つはp-減2度、半オクターヴ、p-増7度などと命名できる。

ポーキュパイン記法

ポーキュパイン記法もポーキュパインのジェネレータ(3\22)を使用して記法を作る。2度と7度は完全音程で、4度と5度は3度と6度と同様に不完全音程となる。本位音程は2度の連鎖 A-B-C-D-E-F-G を表す。これは、追加の臨時記号なしで7音階を記譜する唯一の方法である。

キーボードは D * * E * * F * * G * * * A * * B * * C * * D となる。

ペンタトニック記法

ペンタトニック記譜法では、度数はユニゾン・準3度・擬4度・擬5度・準7度・擬8度である。本位音程は5度連鎖 F-C-G-D-A を表す。これは、追加の臨時記号なしで5度連鎖記譜法を使用する唯一の方法である。

要は通常の2L 3s (en) 3|1, マイナーペンタトニックスケール LssLs に12平均律と同様の名前を割り当てたものである。ただしDから始める。

キーボードは D * * * * F * * * G * * * A * * * * C * * * D となる。

デカトニック記法

デカトニック記法は、Paul Erlich (en) の10音音階に基づいている。一般的な記法とは異なり、デカトニックシステムは7音ではなく10音の音階に基づいている。このアプローチでは、コード、音程、記法のすべてをもう一度学習し直す必要があるが、22平均律を1組の臨時記号のみを使用して記譜できるため、7音階的な思考パターンから抜け出す機会が得られる。このシステムは、2つの5度連鎖に基づいている。1つはラテン文字で、もう1つはギリシア文字で表される。2つの連鎖は、2つの並置された5音音階として考えることができる。

連鎖1：C-G-D-A-E

連鎖2：γ-δ-α-ε-β

アルファベットは昇順で、C δ D ε E γ G α A β C となる。

このアルファベットでは、あるラテン文字の組が5度の関係にあるとき、それに対応するギリシャ文字の組も同じく5度の関係になる。たとえば、G-D は5度であるので、γ-δ も5度となる。

サジタルノーテーション(矢印記法)

22平均律を5度圏によって生成されるものとして扱う場合、本位音 F-C-G-D-A-E-B は 13\22 の反復による5度連鎖を表す。その結果、全音は4ステップになり、アポトメー（apotome, ピタゴラスのシャープ/フラット1つ分の音程）は3ステップになる。アポトメーを3つの部分に分割する3組のサジタル記号のみが必要であり、多くの異名同音が提供される。

22edo.png

この表記は、5リミット純正音程のサジタルノーテーションと一致している。つまり、「長」3度と6度は、シントニックコンマ1つ分下げられた（スーパー）ピタゴラス音程として現れる。

アポトメーを3つのシントニックコンマに分割するということは、22がポーキュパインコンマ (en) （これは『シントニックコンマ × 3 − アポトメー』と等しい）をテンパーアウトすることを示している。

また、Jacob A. Barton (en) 著のThe Sagittal Songbook (en) の付録には、Revo版（純粋版）サジタル記号で22平均律を表記する方法を示す次の図がある：

22edo_Sagittal.png

アップ&ダウン記法

標準的なピタゴラスの五度連鎖記法は、アップ(^)とダウン(v)と一緒に使用できる。アップまたはダウンを1回行うと、音のピッチが1ステップ(1\22)変化する。

EbとD#は異なる音であり、かつEbのピッチはD#よりも低いことに注意せよ。これは硬い (en) ダイアトニックスケールの特徴である。

22平均律の記法
ステップ (en) セント アップ&ダウン記法 (en)
ダイアトニック音程名 (en) C始点の記号
0 0.00 完全1度(P1) C
1 54.545 短2度 (m2)
アップ1度 (^1) 		Db
^C
2 109.091 アップ短2度 (^m2)
ダウン増1度 (vA1)
減3度 (d3) 		^Db
vC#
Ebb
3 163.636 ダウン長2度 (vM2)
増1度 (A1) 		vD
C#
4 218.182 長2度 (M2)
アップ増1度 (^A1)
ダウン短3度 (vm3) 		D
^C#
vEb
5 272.727 アップ長2度 (^M2)
短3度 (m3) 		^D
Eb
6 327.273 アップ短3度 (^m3)
減4度 (d4) 		^Eb
Fb
7 381.818 ダウン長3度 (vM3)
増2度 (A2)
アップ減4度 (^d4) 		vE
D#
^Fb
8 436.364 長3度 (M3)
アップ増2度 (^A2)
ダウン4度 (v4) 		E
^D#
vFb
9 490.909 完全4度 (P4) F
10 545.455 アップ4度 (^4)
減5度 (d5) 		^F
Gb
11 600.000 ダウン増4度 (vA4)
アップ減5度 (^d5) 		vF#
^Gb
12 654.545 増4度 (A4)
ダウン5度 (v5) 		F#
vG
13 709.091 完全5度 (P5) G
14 763.636 アップ5度 (^5)
短6度 (m6) 		^G
Ab
15 818.182 ダウン増5度 (vA5)
アップ短6度 (^m6) 		vG#
^Ab
16 872.727 増5度 (A5)
ダウン長6度 (vM6) 		G#
vA
17 927.273 長6度 (M6)
アップ増5度 (^A5)
ダウン短7度 (vm7) 		A
^G#
vBb
18 981.818 短7度 (m7)
アップ長6度 (^M6)
ダウン減8度 (vd8) 		Bb
^A
vC
19 1036.364 アップ短7度 (^m7)
減8度 (d8) 		^Bb
Cb
20 1090.909 ダウン長7度 (vM7)
アップ減8度 (^d8)
増6度 (A6) 		vB
^Cb
A#
21 1145.455 長7度 (M7)
ダウン8度 (v8) 		B
vC
22 1200.000 完全8度 (P8) C

アップ・ダウン記号 (en) をシャープ・フラットと「融合」したものとして扱い、別々に現れることはない記法の場合：

Tibia 22edo ups and downs guide 1.png

アップ・ダウン記号をシャープ・フラットとは独立したものとして扱い、別々に現れることもある記法の場合：

Tibia 22edo ups and downs guide 2.png

必須の臨時記号（調号なし）・最小限の臨時記号（調号を上書きする必要がある場合のみ）・独立したアップ・ダウン記号で、それぞれ表したDダウンメジャースケール。

Tibia 22edo guide D major.png

あるいは、独立したアップ・ダウン記号の代わりに、Helmholtz–Ellis記法 (en) の矢印臨時記号を使用することもできる。

ステップオフセット 0 1 2 3 4 5 6 7
シャープ記号
Heji18.svg
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フラット記号
Heji17.svg
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下に示すのは独立したアップ・ダウン記号を用いて書かれたPaul Erlich (en) の “Tibia” in Gである。


  • Tibia in G CORRECTED-1.png

    Tibia in G (page 1)

  • Tibia in G CORRECTED-2.png

    Tibia in G (page 2)

22平均律の各記譜法の比較

not yet

22平均律の音程と近似値

22平均律で表現できる、周波数比の分母分子が16以下の純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=22, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.3]というパラメータで生成したものである。純正音程名の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

平均律 音程 セント DMS 「近所」のJI 日本語名 比率 セント差分 セント diff DMS DMS
22 0 0.00 0.00
1 54.55 16.36
2 109.09 32.73 minor diatonic semitone ダイアトニック小半音 16/15 -2.64 111.73 -0.79 33.52
2 109.09 32.73 major diatonic semitone ダイアトニック大半音 15/14 -10.35 119.44 -3.11 35.83
3 163.64 49.09 3/4-tone, undecimal neutral second 3/4-全音, 11倍音系中2度 12/11 13.00 150.64 3.90 45.19
3 163.64 49.09 minor whole tone 小全音 11/10 -1.37 165.00 -0.41 49.50
4 218.18 65.45 major whole tone 大全音 9/8 14.27 203.91 4.28 61.17
4 218.18 65.45 septimal whole tone 7倍音系全音 8/7 -12.99 231.17 -3.90 69.35
5 272.73 81.82 septimal minor third 7倍音系短3度 7/6 5.86 266.87 1.76 80.06
6 327.27 98.18 minor third 古典的短3度 6/5 11.63 315.64 3.49 94.69
7 381.82 114.55 major third 古典的長3度 5/4 -4.50 386.31 -1.35 115.89
8 436.36 130.91 septimal major third, BP third 7倍音系長3度, ボーレン・ピアースの3度 9/7 1.28 435.08 0.38 130.53
9 490.91 147.27 perfect fourth 完全4度 4/3 -7.14 498.04 -2.14 149.41
10 545.45 163.64 undecimal augmented fourth 11倍音系増4度 15/11 8.50 536.95 2.55 161.09
10 545.45 163.64 undecimal semi-augmented fourth 11倍音系半増5度 11/8 -5.86 551.32 -1.76 165.40
11 600.00 180.00
12 654.55 196.36 undecimal semi-diminished fifth 11倍音系半減5度 16/11 5.86 648.68 1.76 194.60
13 709.09 212.73 perfect fifth 完全5度 3/2 7.14 701.96 2.14 210.59
14 763.64 229.09 septimal minor sixth 7倍音系長6度 14/9 -1.28 764.92 -0.38 229.47
15 818.18 245.45 minor sixth 古典的短6度 8/5 4.50 813.69 1.35 244.11
16 872.73 261.82 major sixth, BP sixth 古典的長6度, ボーレン・ピアースの6度 5/3 -11.63 884.36 -3.49 265.31
17 927.27 278.18 septimal major sixth 7倍音系長6度 12/7 -5.86 933.13 -1.76 279.94
18 981.82 294.55 harmonic seventh 自然7度 7/4 12.99 968.83 3.90 290.65
18 981.82 294.55 Pythagorean minor seventh ピタゴラスの短7度 16/9 -14.27 996.09 -4.28 298.83
19 1036.36 310.91 21/4-tone, undecimal neutral seventh 21/4-全音, 11倍音系中7度 11/6 -13.00 1049.36 -3.90 314.81
20 1090.91 327.27 classic major seventh 古典的長7度 15/8 2.64 1088.27 0.79 326.48
21 1145.45 343.64
22 1200.00 360.00

純正音程近似

純正音程のマッピング

以下の表は、22平均律で15奇数リミット音程がどのように表されるかを示している。素数倍音は太字で、非一貫的な音程は斜体で示す。

22平均律内の15奇数リミット音程（直接近似, 一貫性の無いものも含む）
音程と補音程 誤差 (絶対, ¢) 誤差 (相対, %)
1/1, 2/1 0.000 0.0
9/7, 14/9 1.280 2.3
11/10, 20/11 1.368 2.5
15/8, 16/15 2.640 4.8
5/4, 8/5 4.496 8.2
7/6, 12/7 5.856 10.7
11/8, 16/11 5.863 10.7
3/2, 4/3 7.136 13.1
15/11, 22/15 8.504 15.6
15/14, 28/15 10.352 19.0
5/3, 6/5 11.631 21.3
7/4, 8/7 12.992 23.8
11/6, 12/11 12.999 23.8
9/8, 16/9 14.272 26.2
13/11, 22/13 16.482 30.2
7/5, 10/7 17.488 32.1
13/10, 20/13 17.850 32.7
13/9, 18/13 17.928 32.9
9/5, 10/9 18.767 34.4
11/7, 14/11 18.856 34.6
13/7, 14/13 19.207 35.2
11/9, 18/11 20.135 36.9
13/8, 16/13 22.346 41.0
15/13, 26/15 24.986 45.8
13/12, 24/13 25.064 46.0
22平均律内の15奇数リミット音程（パテントヴァルによるマッピング）
音程と補音程 誤差 (絶対, ¢) 誤差 (相対, %)
1/1, 2/1 0.000 0.0
9/7, 14/9 1.280 2.3
11/10, 20/11 1.368 2.5
15/8, 16/15 2.640 4.8
5/4, 8/5 4.496 8.2
7/6, 12/7 5.856 10.7
11/8, 16/11 5.863 10.7
3/2, 4/3 7.136 13.1
15/11, 22/15 8.504 15.6
15/14, 28/15 10.352 19.0
5/3, 6/5 11.631 21.3
7/4, 8/7 12.992 23.8
11/6, 12/11 12.999 23.8
9/8, 16/9 14.272 26.2
13/11, 22/13 16.482 30.2
7/5, 10/7 17.488 32.1
13/10, 20/13 17.850 32.7
9/5, 10/9 18.767 34.4
11/7, 14/11 18.856 34.6
11/9, 18/11 20.135 36.9
13/8, 16/13 22.346 41.0
15/13, 26/15 24.986 45.8
13/12, 24/13 29.482 54.0
13/7, 14/13 35.338 64.8
13/9, 18/13 36.618 67.1
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22平均律で近似されるいくつかの17リミット音程

決定づける特徴

アルキュタス vs シントニックコンマ

おそらく、22平均律に慣れていない人にとって最も印象的な特徴は、81/80 のシントニックコンマをテンパーアウトしないため、ミーントーン音律のシステムではないことである。つまり、22平均律は、9/8 と 10/9 の2つの全音などの、12平均律・19平均律・31平均律が区別しないピタゴラス（3リミット）音程と5リミット音程を区別する。実際のところこれらの区別は、5リミット純正律(JI)や、34平均律 (en) ・41平均律 (en) ・53平均律などのより正確な音律と比較すると誇張されている。

22平均律が作り出すダイアトニックスケールはスーパーパイス (en) 音律から派生したもので、ミーントーンのダイアトニックスケール（L L s L L L s, または 5L 2s）と同じスケール構造を持ちながらも、3度は 5/4 や 6/5 ではなく、9/7 や 7/6 に近い。つまり、シントニックコンマ(81/80)ではなく、アルキュタスコンマ(64/63)が消えるということであり、これは22平均律の核となる特徴の一つである。スーパーパイスは、疑似的に等間隔の5音階（大全音と下短(縮)3度の大きさがかなり近いため）と、12平均律やその他のミーントーンシステムと比べ、より不均等な7音階を持つ点で旋律的に興味深い。ステップパターンはそれぞれ 4 4 5 4 5 と 4 4 1 4 4 4 1 である。

ポーキュパインコンマ

また、250/243 (en) のポーキュパインコンマ（或いはmaximal diesis）をテンパーアウトするため、22平均律はポーキュパイン音律 (en) をサポート (en) する。ポーキュパインのジェネレーターは低い 10/9 の小全音で、2つでわずかに高い 6/5、3つでわずかに低い 4/3 になる。これは、ポーキュパインの特徴である等間隔なテトラコルドの存在を示唆している。ポーキュパインは、良く知られた12平均律によっては近似されない5リミット音律のうち、悪さ (en) (badness)が最も少ないものであることで有名である。そのため、22平均律の倍音特性を調べるための優れた出発点の一つとなる。ポーキュパインは7音と8音の二つのMOSスケールを形成し、22平均律ではそれぞれ 4 3 3 3 3 3 と 3 1 3 3 3 3 3 3（およびそれぞれのモード）に調律される。

その他の5リミットコンマ

22平均律がテンパーアウトするその他の5リミットコンマには、ディアスキスマ（diaschisma, 2048/2025 (en) ）とマジックコンマ（或いはsmall diesis, 3125/3072 (en) ）がある。12平均律や22平均律などのディアスキスマシステムでは、全音階の3度上の 9/8 (en) を表す大全音の長3度上である 45/32 (en) のダイアトニック三全音は、そのオクターヴ反転である 64/45 (en) と等しくなる。また、マジックコンマがテンパーアウトされるということは、22平均律が5つの長3度で完全5度を構成するマジックシステムであることを意味する。

その他の7リミットコンマ

7リミットでは、22平均律は12平均律によってもテンパーアウトされる特定のコンマをテンパーアウトする。これは、ミーントーンシステムが類似するのとは異なる方法で12平均律を22平均律に関連付ける。jubilisma(50/49 (en) )とアルキュタスコンマ (64/63) は、両方のシステムでテンパーアウトされる。したがってどちらの平均律においても、50/49 により 7/5 と 10/7 の2つの7倍音系三全音が同一視され、さらに 64/63 により属七和音とotonalテトラッドが区別されない。したがって、どちらも (50/49)/(64/63) = 225/224 (en) のマーベルコンマ（或いはセプティマルクレイズマ）をテンパーアウトするため、マーベル増三和音は22平均律のコードであり、どのミーントーン調律のコードでもある。12平均律によってテンパーアウトされないが、22平均律によってテンパーアウトされる7倍音系コンマは 1728/1715、つまりオーウェルコンマ (en) である。また、オーウェル四和音 (en) も22平均律のコードである。

11リミットコンマ

11リミットでは、22平均律はen:quartismaをテンパーアウトし、5つの 33/32 四分音が1つの 7/6 下短(縮)3度に等しくなる。これは24平均律と共有されている特性だが、驚くべきことに、17平均律・26平均律 (en) ・34平均律 (en) などの他の比較的小さな平均律のいくつかと共有されてはいない。実際、有名な53平均律でさえこの特性を持っていない。ただし、関連する159平均律 (en) にはあることに注意。

その他の特徴

約 164 ¢ の「低い小全音」は、22平均律の重要な音程である。これは、11リミットで 10/9, 11/10, 12/11 という3つもの異なる協和音程比として機能するためである。したがって、非常に曖昧でかつ柔軟性がある。その代償として、12平均律ピアノの中間に非常に近いため、ほとんどの12平均律のリスナーにとっては慣れるのに時間がかかる。5リミットの音楽を22平均律に単純に変換すると、非常に異なるサウンドになり、より複雑な倍音のクオリティが必然的に生じる。22平均律には中立3度は含まれないが、5リミットの3度は両方とも「中立のような」クオリティを持つ。これは、12平均律のように離れているのではなく、より近い距離で調律されているためである。

22平均律は、7倍音系下短3度をジェネレーター（5ステップ）として使用し、ステップパターン 3 2 3 2 3 2 3 2 2 および 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 でMOSスケールを形成するオーウェル音律 (en) もサポートしている。 ハーモニー的には、オーウェルは31平均律・53平均律・84平均律 (en) など、他の音律でより正確にチューニングできる。しかし、22平均律オーウェルはメロディ的に他よりも優位に立っており、オーウェル[9]の大小のステップは22では区別しやすい。

22平均律は、4分音と短2度・中立2度・長2度を含む点で24平均律と旋律的に似ているが、22平均律は24よりも総合的に優れたハーモニーを提供する。サジタルノーテーション (en) では、11は22の他のすべての音符として記譜できる。

レギュラー音律の性質

サブグループ (en) コンマリスト (en) マッピング (en) 最適なオクターヴ伸縮 (¢) 調律誤差
絶対 (en) (¢) 相対 (en) (%)
2.3 [35 -22⟩ [⟨22 35]] -2.25 2.25 4.12
2.3.5 250/243, 2048/2025 [⟨22 35 51]] -0.86 2.70 4.94
2.3.5.7 50/49, 64/63, 245/243 [⟨22 35 51 62]] -1.80 2.85 5.23
2.3.5.7.11 50/49, 55/54, 64/63, 99/98 [⟨22 35 51 62 76]] -1.11 2.90 5.33
2.3.5.7.11.17 50/49, 55/54, 64/63, 85/84, 99/98 [⟨22 35 51 62 76 90]] -1.09 2.65 4.87

22平均律は、11リミットにおけるこれまでのどの平均律よりも相対誤差が低くなる。このサブグループで優れている次の平均律は31平均律である。22平均律は 2.3.5.7.11.17 サブグループでさらに卓越しており、このサブグループで優れている次の平均律は46平均律 (en) である。

一様写像

21.5と22.5の間の13リミット一様写像
最小サイズ 最大サイズ Wart記法 Map
21.5000 21.5353 22bccdddeeeeff ⟨22 34 50 60 74 80]
21.5353 21.5505 22bccdddeeff ⟨22 34 50 60 75 80]
21.5505 21.7492 22bccdeeff ⟨22 34 50 61 75 80]
21.7492 21.7542 22bdeeff ⟨22 34 51 61 75 80]
21.7542 21.7671 22bdee ⟨22 34 51 61 75 81]
21.7671 21.8244 22dee ⟨22 35 51 61 75 81]
21.8244 21.9067 22d ⟨22 35 51 61 76 81]
21.9067 22.0244 22 ⟨22 35 51 62 76 81]
22.0244 22.1135 22f ⟨22 35 51 62 76 82]
22.1135 22.1798 22ef ⟨22 35 51 62 77 82]
22.1798 22.2629 22cef ⟨22 35 52 62 77 82]
22.2629 22.2946 22cddef ⟨22 35 52 63 77 82]
22.2946 22.3980 22cddefff ⟨22 35 52 63 77 83]
22.3980 22.4025 22bbcddefff ⟨22 36 52 63 77 83]
22.4025 22.5000 22bbcddeeefff ⟨22 36 52 63 78 83]

コンマ

ヴァルを ⟨22 35 51 62 76 81] としたとき、22平均律は以下のコンマをテンパーアウト (en) する。

素数リミット (en) 比率[1] モンゾ セント カラーネーム (en) 名前
3 (22 digits) [35 -22⟩ 156.98
5 250/243 [1 -5 3⟩ 49.17 Triyo Porcupine comma
5 3125/3072 [-10 -1 5⟩ 29.61 Laquinyo Magic comma
5 2048/2025 [11 -4 -2⟩ 19.55 Sagugu Diaschisma
5 (14 digits) [-21 3 7⟩ 10.06 Lasepyo Semicomma
5 (20 digits) [32 -7 -9⟩ 9.49 Sasa-tritrigu Escapade comma
5 (32 digits) [-53 10 16⟩ 0.57 Quadla-quadquadyo Kwazy
7 50/49 [1 0 2 -2⟩ 34.98 Biruyo Jubilisma
7 64/63 [6 -2 0 -1⟩ 27.26 Ru Septimal comma
7 875/864 [-5 -3 3 1⟩ 21.90 Zotriyo Keema
7 2430/2401 [1 5 1 -4⟩ 20.79 Quadru-ayo Nuwell
7 245/243 [0 -5 1 2⟩ 14.19 Zozoyo Sensamagic
7 1728/1715 [6 3 -1 -3⟩ 13.07 Triru-agu Orwellisma
7 225/224 [-5 2 2 -1⟩ 7.71 Ruyoyo Marvel comma
7 10976/10935 [5 -7 -1 3⟩ 6.48 Trizo-agu Hemimage
7 6144/6125 [11 1 -3 -2⟩ 5.36 Saruru-atrigu Porwell
7 65625/65536 [-16 1 5 1⟩ 2.35 Lazoquinyo Horwell
7 (12 digits) [-6 -8 2 5⟩ 1.12 Quinzo-ayoyo Wizma
11 99/98 [-1 2 0 -2 1⟩ 17.58 Loruru Mothwellsma
11 100/99 [2 -2 2 0 -1⟩ 17.40 Luyoyo Ptolemisma
11 121/120 [-3 -1 -1 0 2⟩ 14.37 Lologu Biyatisma
11 176/175 [4 0 -2 -1 1⟩ 9.86 Lorugugu Valinorsma
11 896/891 [7 -4 0 1 -1⟩ 9.69 Saluzo Pentacircle
11 65536/65219 [16 0 0 -2 -3⟩ 8.39 Satrilu-aruru Orgonisma
11 385/384 [-7 -1 1 1 1⟩ 4.50 Lozoyo Keenanisma
11 540/539 [2 3 1 -2 -1⟩ 3.21 Lururuyo Swetisma
11 4000/3993 [5 -1 3 0 -3⟩ 3.03 Triluyo Wizardharry
11 9801/9800 [-3 4 -2 -2 2⟩ 0.18 Bilorugu Kalisma
13 65/64 [-6 0 1 0 0 1⟩ 26.84 Thoyo Wilsorma
13 78/77 [1 1 0 -1 -1 1⟩ 22.34 Tholuru Negustma
13 91/90 [-1 -2 -1 1 0 1⟩ 19.13 Thozogu Superleap
31 125/124 [-2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 -1⟩ 13.91 Thiwutriyo Twizzler
  1. ↑ 10桁以上の比率は、ヒントを含むプレースホルダーによって示す。

ランク2音律

Periods
per octave 		Generator Temperaments
1 1\22 Sensa
Chromo
Ceratitid
1 3\22 Porcupine
1 5\22 Orwell (22) / blair (22) / winston (22f)
1 7\22 Magic / telepathy
1 9\22 Superpyth / suprapyth
2 1\22 Shrutar / hemipaj
Comic
2 2\22 Srutal / pajara / pajarous
2 3\22 Hedgehog / echidna
2 4\22 Astrology
Antikythera
Wizard
2 5\22 Doublewide / fleetwood
11 1\22 Undeka
Hendecatonic

スケール

en:22edo modesを参照のこと。

テトラコルド

en:22edo tetrachordsを参照のこと。

コードネーム

アップ&ダウン記法とカラー記法 (en) を組み合わせると、次のようにクオリティをカラーと大まかに関連付けることができる。

クオリティ カラーネーム (en) モンゾ形式 例
短 zo [a b 0 1⟩ 7/6, 7/4
fourthward wa [a b⟩ (b < -1) 32/27, 16/9
アップ短 gu [a b -1⟩ 6/5, 9/5
ダウン長 yo [a b 1⟩ 5/4, 5/3
長 fifthward wa [a b⟩ (b > 1) 9/8, 27/16
ru [a b 0 -1⟩ 9/7, 12/7

すべての22平均律の和音は、アップ&ダウンを使用して名前を付けることができる。変位音は常に括弧で囲まれるが、追加音は括弧で囲まれない。コード根音の直後のアップ・ダウンは、3度、6度、7度、および11度（3度堆積和音 6-1-3-5-7-9-11-13 の一つおきの音）に影響する。zo, gu, yo, ruの三和音は次のとおり。

3度のカラー (en) 純正比 ステップ C上における音 表記 読み方
zo 6:7:9 0-5-13 C Eb G Cm Cマイナー
gu 10:12:15 0-6-13 C ^Eb G C^m Cアップマイナー
yo 4:5:6 0-7-13 C vE G Cv Cダウンメジャー, Cダウン
ru 14:18:21 0-8-13 C E G C Cメジャー, C

例：

  • 0-4-13 = C D G = C2
  • 0-9-13 = C F G = C4
  • 0-10-13 = C ^F G = C^4 or C(^4)
  • 0-5-10 = C Eb Gb = Cd = Cdim
  • 0-5-11 = C Eb ^Gb = Cd(^5)
  • 0-5-12 = C Eb vG = Cm(v5)

22平均律の和音の名前に関するより深い議論はこちらを参照。

音楽

en:22edo/musicsやen:category:22edo tracksを参照のこと。

関連項目

外部リンク

参考文献

  1. Barbour, James Murray, Tuning and temperament, a historical survey, East Lansing, Michigan State College Press, 1953 [c1951]
  2. Bosanquet, R.H.M. On the Hindoo division of the octave, with additions to the theory of higher orders, Proceedings of the Royal Society of London vol. 26, 1879, pp. 272-284. Reproduced in Tagore, Sourindro Mohun, Hindu Music from Various Authors, Chowkhamba Sanskrit Series, Varanasi, India, 1965
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