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{{Infobox ET|22平均律|debug=1}}
{{Infobox ET|22平均律|debug=1}}
'''22平均律'''、または'''22音平均律'''（英: 22 equal divisions of the octave, 22 equal temperament, '''22EDO''', '''22ET'''）は、[[レギュラーテンペラメント|レギュラー音律]]の観点から見ると、オクターブを均等な22個のステップに分割した調律システムである。
'''22平均律'''、または'''22音平均律'''（英: 22 equal divisions of the octave, 22 equal temperament, '''22EDO''', '''22ET'''）は、[[レギュラーテンペラメント|レギュラー音律]]の観点から見ると、オクターブを均等な22個のステップに分割した調律システムである。


1ステップあたりの周波数比は2の22乗根 <math>(\sqrt[22]{2})</math> であり、約 54.545 [[セント|¢]] である。{{en仮リンク|9/8|9/8}} と {{en仮リンク|10/9|10/9}} を区別するので、これは{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。
1ステップあたりの周波数比は2の22乗根 <math>2^{1/22}</math> であり、約 54.545 [[セント|¢]] である。{{en仮リンク|9/8|9/8}} と {{en仮リンク|10/9|10/9}} を区別するので、これは{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。


==理論==
==理論==
===歴史===
===歴史===
オクターブを同じサイズの22のステップに分割するという考えは、19世紀の音楽理論家R.H.M. Bosanquetに由来しているようである。{{en仮リンク|インドの音楽理論|Indian music}}におけるオクターブの22の不均等な分割に触発され、Bosanquetはそのような均等な分割により 5-リミットの音楽を許容できる精度で表現できることに注目した。この点については、20世紀に理論家のJosé Würschmidtが続き、彼はこれを[[19平均律]]の次の可能性として指摘した。また、J. Murray Barbourは、調律の歴史に関する古典的な調査書『Tuning and Temperament』の中で、これに続いた。
オクターブを同じサイズの22のステップに分割するという考えは、19世紀の音楽理論家R.H.M. Bosanquetに由来しているようである。{{en仮リンク|インドの音楽理論|Indian music}}におけるオクターブの22の不均等な分割に触発され、Bosanquetは22個への均等な分割により5-リミットの音楽を許容できる精度で表現できることに注目した。この点については、20世紀に理論家のJosé Würschmidtが続き、彼はこれを[[19平均律]]の次の可能性として指摘した。また、J. Murray Barbourは、調律の歴史に関する古典的な調査書『Tuning and Temperament』の中で、これに続いた。


=== 純正音程近似のクオリティの概観 ===
=== 純正音程近似のクオリティの概観 ===
22平均律のシステムは実際には、[[12平均律|12]]と19に次ぐ、[[5-リミット]]音程を{{en仮リンク|TE誤差|TE error}} 4 cents/oct 以内に近似することができる3番目の平均律である。ゼータ積分やゼータギャップ平均律ではないが、少なくとも{{en仮リンク|ゼータピーク平均律|The Riemann zeta function and tuning#Peak edos}}ではある。さらに、5-リミットだけではない。12や19とは異なり、7, 11-リミット音程を 3 セント/オクターヴ 以内の誤差で近似できる。[[31平均律]]の方がはるかに優れているが、22平均律でもこれらのリミットの和声を利用できる。実際、22は{{en仮リンク|11-奇数リミット|11-odd-limit}}を一貫して表す最小の等分割である。
22平均律のシステムは、実際には[[12平均律|12]]と19に次ぐ{{en仮リンク|5-リミット|5-limit}}音程を{{en仮リンク|TE誤差|TE error}} 4 ¢/oct 以内に近似することができる3番目の平均律である。ゼータ積分やゼータギャップ平均律ではないが、少なくとも{{en仮リンク|ゼータピーク平均律|The Riemann zeta function and tuning#Peak edos}}ではある。さらに12や19とは異なり、5-リミットのみならず、{{en仮リンク|7-リミット|7-limit}}、{{en仮リンク|11-リミット|11-limit}}音程をも 3 ¢/oct 以内の誤差で近似できる。[[31平均律]]の方がはるかに優れてはいるものの、22平均律でもこれらの高リミットのハーモニーを利用できる。実際、22は{{en仮リンク|11-奇数リミット|11-odd-limit}}を[[一貫性|一貫]]して表す最小の等分割である。


さらに、22平均律は12や19とは異なり、{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。22という数字があまり馴染みのない音楽領域の探求を可能にし、ある程度強制することも効果の一つであるが、最終的な効果はやはり、十分に小さいので22音ギターなどの適切に設計された楽器を使用したライブパフォーマンスで使用できることであろう。
22平均律は12や19とは異なり、{{en仮リンク|ミーントーン|meantone}}システムではない。22という数字があまり馴染みのない音楽領域の探求を可能にしある程度強制することも効果の一つであるが、最終的な効果はやはり（22という数が小さいので）22音ギターなどの適切に設計された楽器を使用したライブパフォーマンスで使用することが容易いことであろう。


22平均律は、[[11平均律]]の 2.7.9.11.15.17 サブグループに倍音3と5を追加したものとして扱うこともでき、（かなり正確な）2.3.5.7.11.17 サブグループ音律になる。31倍音の近似値は 0.5 セント 以内であり、かなり正確であることも注目に値する。また、特に 29/24 などの29倍音を含むいくつかの間隔も近似しており、これも 0.5 セント 以内で一致する。これにより、2.3.5.7.11.17.29.31 がもたらされる。
22平均律は、[[11平均律]]の 2.7.9.11.15.17 [[純正律サブグループ|サブグループ]]に倍音3と5を追加したものとして扱うこともでき（かなり正確な）2.3.5.7.11.17 サブグループ音律になる。31倍音の近似値が 0.5 ¢ 以内であり、かなり正確であることも注目に値する。また、特に 29/24 などの29倍音を含むいくつかの間隔も近似しており、これも 0.5 ¢ 以内で一致する。これにより、2.3.5.7.11.17.29.31 がもたらされる。


22平均律は、拡張された「クォーターコンマarchy」に非常に近い。これはシントニックコンマ {{en仮リンク|81/80|81/80}} の代わりにアルキュタスコンマ {{en仮リンク|64/63|64/63}} をテンパーアウトすることを除いて、{{en仮リンク|クォーターコンマミーントーン|Quarter-comma meantone}}に似たチューニングである。このため、ほぼ純粋な7倍音系長3度（{{en仮リンク|9/7|9/7}}）を持つ。
22平均律は、拡張された「クォーターコンマarchy」に非常に近い。これはテンパーアウトされるコンマがシントニックコンマ({{en仮リンク|81/80|81/80}})である代わりにアルキュタスコンマ({{en仮リンク|64/63|64/63}})であるところ以外は、{{en仮リンク|クォーターコンマミーントーン|Quarter-comma meantone}}に似た構造のチューニングである。このため、ほぼ純粋な7倍音系長3度（{{en仮リンク|9/7|9/7}}）を持つ。


=== 素数倍音 ===
=== 素数倍音 ===
todo
{{Harmonics in equal|22|columns=11}}


=== 部分集合と上位集合 ===
=== 部分集合と上位集合 ===
22は11で割り切れるため、12平均律が6平均律（全音音階）を演奏できるのと同じように、22平均律楽器は11平均律のあらゆる音楽を演奏できる。11平均律は、旋律的には12平均律（よく知られた 1:2:3 の比率で全音、半音、短3度）に聞こえる点で興味深いが、特に完全5度/4度や5-リミット長3度/短6度がないため、和声的には大きく異なる。同様に、22平均律と[[24平均律]]は、どちらも4分音や短/中/長2度を含むため、旋律的に似ている。しかし、22平均律は24よりもはるかに優れた全体的なハーモニーを提供する。{{en仮リンク|サジタルノーテーション|Sagittal notation}}では、11は22の1つおきの音として記譜できる。
22は11で割り切れるため、12平均律が6平均律（全音音階）を演奏できるのと同じように、22平均律楽器は11平均律のあらゆる音楽を演奏できる。11平均律は、旋律的には12平均律（よく知られた 1:2:3 の比率で全音、半音、短3度）に聞こえる点で興味深いが、特に完全5度/4度や5-リミット長3度/短6度がないため、和声的には大きく異なる。同様に、22平均律と[[24平均律]]は、どちらも4分音や短/中/長2度を含むため、旋律的に似ている。しかし、22平均律は24よりもはるかに優れた全体的なハーモニーを提供する。
 
{{en仮リンク|サジタルノーテーション|Sagittal notation}}では、11は22の1つおきの音として記譜できる。


==音程==
==音程==
198行目: 200行目:


<references />
<references />
==記譜法==
===スーパーパイス/ポーキュパイン記法===
スーパーパイス/ポーキュパイン記法は、{{en仮リンク|スーパーパイス音律|superpyth}}と{{en仮リンク|ポーキュパイン音律|porcupine}}の両方から生まれた記法である。
まず、[[5L 2s]] スーパーパイス[7] による名前を付ける。ただし、不完全音程の前には “s-” をつけ、完全4度・完全5度は「完全」をとって代わりに「本位(natural, 暫定訳語)」を付ける。次に、{{en仮リンク|1L 6s|1L 6s}} ポーキュパイン[7] による名前を付ける。ただし、各音程の前には “p-” をつける。すると、2, 11, 20ステップ目以外は長、短、本位音程のいずれかにできる。この残った3つはp-減2度、半オクターヴ、p-増7度などと命名できる。
===ポーキュパイン記法===
ポーキュパイン記法もポーキュパインのジェネレータ(3\22)を使用して記法を作る。2度と7度は完全音程で、4度と5度は3度と6度と同様に不完全音程となる。本位音程は2度の連鎖 A-B-C-D-E-F-G を表す。これは、追加の臨時記号なしで7音階を記譜する唯一の方法である。
キーボードは D * * E * * F * * G * * * A * * B * * C * * D となる。
===ペンタトニック記法===
ペンタトニック記譜法では、度数はユニゾン・準3度・擬4度・擬5度・準7度・擬8度である。本位音程は5度連鎖 F-C-G-D-A を表す。これは、追加の臨時記号なしで5度連鎖記譜法を使用する唯一の方法である。
要は通常の{{en仮リンク|2L 3s|2L 3s}} 3|1, マイナーペンタトニックスケール LssLs に12平均律と同様の名前を割り当てたものである。ただしDから始める。
キーボードは D * * * * F * * * G * * * A * * * * C * * * D となる。
===デカトニック記法===
デカトニック記法は、{{en仮リンク|Paul Erlich|Paul Erlich}}の10音音階に基づいている。一般的な記法とは異なり、デカトニックシステムは7音ではなく10音の音階に基づいている。このアプローチでは、コード、音程、記法のすべてをもう一度学習し直す必要があるが、22平均律を1組の臨時記号のみを使用して記譜できるため、7音階的な思考パターンから抜け出す機会が得られる。このシステムは、2つの5度連鎖に基づいている。1つはラテン文字で、もう1つはギリシア文字で表される。2つの連鎖は、2つの並置された5音音階として考えることができる。
連鎖1：C-G-D-A-E
連鎖2：γ-δ-α-ε-β
アルファベットは昇順で、C δ D ε E γ G α A β C となる。
このアルファベットでは、あるラテン文字の組が5度の関係にあるとき、それに対応するギリシャ文字の組も同じく5度の関係になる。たとえば、G-D は5度であるので、γ-δ も5度となる。
===サジタルノーテーション(矢印記法)===
22平均律を5度圏によって生成されるものとして扱う場合、本位音 F-C-G-D-A-E-B は 13\22 の反復による5度連鎖を表す。その結果、全音は4ステップになり、アポトメー（apotome, ピタゴラスのシャープ/フラット1つ分の音程）は3ステップになる。アポトメーを3つの部分に分割する3組のサジタル記号のみが必要であり、多くの異名同音が提供される。
[[File:22edo.png|alt=22edo.png|22edo.png]]
この表記は、5-リミット純正音程のサジタルノーテーションと一致している。つまり、「長」3度と6度は、シントニックコンマ1つ分下げられた（スーパー）ピタゴラス音程として現れる。
アポトメーを3つのシントニックコンマに分割するということは、22が{{en仮リンク|ポーキュパインコンマ|porcupine comma}}（これは『シントニックコンマ × 3 − アポトメー』と等しい）をテンパーアウトすることを示している。
また、{{en仮リンク|Jacob A. Barton|Jacob Barton}}著の''{{en仮リンク|The Sagittal Songbook|The Sagittal Songbook}}''の付録には、Revo版（純粋版）サジタル記号で22平均律を表記する方法を示す次の図がある：
[[File:22edo Sagittal.png|alt=22edo_Sagittal.png|800px]]
=== アップ&ダウン記法 ===
標準的なピタゴラスの五度連鎖記法は、アップ(^)とダウン(v)と一緒に使用できる。アップまたはダウンを1回行うと、音のピッチが1ステップ(1\22)変化する。
EbとD#は異なる音であり、かつEbのピッチはD#よりも低いことに注意せよ。これは{{en仮リンク|硬い|hard}}ダイアトニックスケールの特徴である。
{| class="wikitable right-1 right-2 left-3 center-4"
|+ 22平均律の記法
! rowspan="2" |{{en仮リンク|ステップ|degree}}
! rowspan="2" |{{en仮リンク|セント|Cent}}
! colspan="2" |{{en仮リンク|アップ&ダウン記法|Ups and downs notation}}
|-
!{{en仮リンク|ダイアトニック音程名|5L 2s}}
! C始点の記号
|-
| 0
| 0.00
| '''完全1度(P1)'''
| '''C'''
|-
| 1
| 54.545
| 短2度 (m2)<br>アップ1度 (^1)
| Db<br>^C
|-
| 2
| 109.091
| アップ短2度 (^m2)<br>ダウン増1度 (vA1)<br>減3度 (d3)
| ^Db<br>vC#<br>Ebb
|-
| 3
| 163.636
| ダウン長2度 (vM2)<br>増1度 (A1)
| vD<br>C#
|-
| 4
| 218.182
| '''長2度 (M2)'''<br>アップ増1度 (^A1)<br>ダウン短3度 (vm3)
| '''D'''<br>^C#<br>vEb
|-
| 5
| 272.727
| アップ長2度 (^M2)<br>'''短3度 (m3)'''
| ^D<br>'''Eb'''
|-
| 6
| 327.273
| '''アップ短3度 (^m3)'''<br>減4度 (d4)
| '''^Eb'''<br>Fb
|-
| 7
| 381.818
| '''ダウン長3度 (vM3)'''<br>増2度 (A2)<br>アップ減4度 (^d4)
| '''vE'''<br>D#<br>^Fb
|-
| 8
| 436.364
| '''長3度 (M3)'''<br>アップ増2度 (^A2)<br>ダウン4度 (v4)
| '''E'''<br>^D#<br>vFb
|-
| 9
| 490.909
| '''完全4度 (P4)'''
| '''F'''
|-
| 10
| 545.455
| アップ4度 (^4)<br>減5度 (d5)
| ^F<br>Gb
|-
| 11
| 600.000
| ダウン増4度 (vA4)<br>アップ減5度 (^d5)
| vF#<br>^Gb
|-
| 12
| 654.545
| 増4度 (A4)<br>ダウン5度 (v5)
| F#<br>vG
|-
| 13
| 709.091
| '''完全5度 (P5)'''
| '''G'''
|-
| 14
| 763.636
| アップ5度 (^5)<br>短6度 (m6)
| ^G<br>Ab
|-
| 15
| 818.182
| ダウン増5度 (vA5)<br>アップ短6度 (^m6)
| vG#<br>^Ab
|-
| 16
| 872.727
| 増5度 (A5)<br>'''ダウン長6度 (vM6)'''
| G#<br>'''vA'''
|-
| 17
| 927.273
| '''長6度 (M6)'''<br>アップ増5度 (^A5)<br>ダウン短7度 (vm7)
| '''A'''<br>^G#<br>vBb
|-
| 18
| 981.818
| '''短7度 (m7)'''<br>アップ長6度 (^M6)<br>ダウン減8度 (vd8)
| '''Bb'''<br>^A<br>vC
|-
| 19
| 1036.364
| '''アップ短7度 (^m7)'''<br>減8度 (d8)
| '''^Bb'''<br>Cb
|-
| 20
| 1090.909
| ダウン長7度 (vM7)<br>アップ減8度 (^d8)<br>増6度 (A6)
| vB<br>^Cb<br>A#
|-
| 21
| 1145.455
| 長7度 (M7)<br>ダウン8度 (v8)
| B<br>vC
|-
| 22
| 1200.000
| '''完全8度 (P8)'''
| '''C'''
|}
{{en仮リンク|アップ・ダウン記号|Ups and Downs Notation}}をシャープ・フラットと「融合」したものとして 扱い、別々に現れることはない記法の場合：
[[File:Tibia_22edo_ups_and_downs_guide_1.png|alt=Tibia 22edo ups and downs guide 1.png|800x147px|Tibia 22edo ups and downs guide 1.png]]
アップ・ダウン記号をシャープ・フラットとは独立したものとして扱い、別々に現れることもある記法の場合：
[[File:Tibia 22edo ups and downs guide 2.png|alt=Tibia 22edo ups and downs guide 2.png|800x150px|Tibia 22edo ups and downs guide 2.png]]
必須の臨時記号（調号なし）・最小限の臨時記号（調号を上書きする必要がある場合のみ）・独立したアップ・ダウン記号で、それぞれ表したDダウンメジャースケール。
[[File:Tibia_22edo_guide_D_major.png|alt=Tibia 22edo guide D major.png|800x68px|Tibia 22edo guide D major.png]]
あるいは、独立したアップ・ダウン記号の代わりに、{{en仮リンク|Helmholtz–Ellis記法|Helmholtz–Ellis notation}}の矢印臨時記号を使用することもできる。
{{Sharpness-sharp3}}
下に示すのは独立したアップ・ダウン記号を用いて書かれた{{en仮リンク|Paul Erlich|Paul Erlich}}の “Tibia” in Gである。
<gallery mode="slideshow">
File:Tibia in G CORRECTED-1.png|alt=Tibia in G CORRECTED-1.png|Tibia in G (page 1)
File:Tibia in G CORRECTED-2.png|alt=Tibia in G CORRECTED-2.png|Tibia in G (page 2)
</gallery>
=== 22平均律の各記譜法の比較 ===
{| class="wikitable center-all right-1 right-2 left-3 left-5 left-8 left-11 left-14 left-17"
|-
! {{en仮リンク|ステップ数|degree}}
! [[セント]]
! colspan="2" | スーパーパイス/ポーキュパイン
! colspan="3" | ポーキュパイン
! colspan="3" | ペンタトニック
! colspan="3" | デカトニック
! colspan="3" | {{en仮リンク|アップ&ダウン|Ups and Downs notation}}
! colspan="3" | {{en仮リンク|SKULO interval names| SKULO interval names}}
|-
| 0
| 0
| ユニゾン
| 1
| ユニゾン
| P1
| D
| ユニゾン
| P1
| D
| 本位1度
| N1
| C
|style="text-align: left;"| ユニゾン
| P1
| D
|style="text-align: left;"| perfect unison
| P1
| D
|-
| 1
| 55
| s-短2度
| sm2
| 増1度
| A1
| D#
| 増1度
| A1
| D#
| 変2度
| f2
| C#, δb
|style="text-align: left;"| アップ1度,<br>短2度
| ^1, m2
| ^D, Eb
|style="text-align: left;"| comma-wide unison, minor second
| K1, m2
| KD, Eb
|-
| 2
| 109
| p-減2度
| pd2
| 減2度
| d2
| Eb
| 重増1度,<br />重減準3度
| AA1, <br>dds3
| Dx, <br>Fb<sup>3</sup>
| 本位2度
| N2
| δ
|style="text-align: left;"| downaug 1sn, upminor 2nd
| vA1, ^m2
| vD#, ^Eb
|style="text-align: left;"| classic minor 2nd
| Km2
| KEb
|-
| 3
| 164
| p-短2度
| pm2
| 完全2度
| P2
| E
| 減準3度
| ds3
| Fbb
| 嬰2度,<br>変3度
| s2, f3
| δ#, Db
|style="text-align: left;"| aug 1sn, downmajor 2nd
| A1, vM2
| D#, vE
|style="text-align: left;"| classic/comma-narrow major 2nd
| kM2
| kE
|-
| 4
| 218
| (s/p)-長2度
| M2
| 増2度
| A2
| E#
| 短準3度
| ms3
| Fb
| 本位3度
| N3
| D
|style="text-align: left;"| major 2nd
| M2
| E
|style="text-align: left;"| major 2nd
| M2
| E
|-
| 5
| 273
| s-短3度
| sm3
| 減3度
| d3
| Fb
| 長準3度
| Ms3
| F
| 嬰3度
| s3
| D#
|style="text-align: left;"| minor 3rd
| m3
| F
|style="text-align: left;"| minor 3rd
| m3
| F
|-
| 6
| 327
| p-短3度
| pm3
| 短3度
| m3
| F
| 増準3度
| As3
| F#
| 変4度
| f4
| εb
|style="text-align: left;"| upminor 3rd
| ^m3
| ^F
|style="text-align: left;"| classic minor 3rd
| Km3
| KF
|-
| 7
| 382
| p-長3度
| pM3
| 長3度
| M3
| F#
| 重増準3度,<br />重減擬4度
| AAs3, <br>dd4d
| Fx, <br>Gbb
| 本位4度
| N4
| ε
|style="text-align: left;"| downmajor 3rd
| vM3
| vF#
|style="text-align: left;"| classic major 3rd
| kM3
| kF#
|-
| 8
| 436
| s-長3度
| sM3
| 増3度,<br>減4度
| A3, d4
| Fx, Gb
| 減擬4度
| d4d
| Gb
| 嬰4度,<br>変5度
| s4, f5
| ε#, Eb
|style="text-align: left;"| major 3rd
| M3
| F#
|style="text-align: left;"| major 3rd
| M3
| F#
|-
| 9
| 491
| 本位4度
| 4, N4
| 短4度
| m4
| G
| 完全擬4度
| P4d
| G
| 本位5度
| N5
| E
|style="text-align: left;"| perfect 4th
| P4
| G
|style="text-align: left;"| perfect 4th
| P4
| G
|-
| 10
| 545
| p-長4度,<br>s-減5度
| pM4, sd5
| 長4度
| M4
| G#
| 増擬4度
| A4d
| G#
| 嬰5度,<br>変6度
| s5, f6
| E#, γb
|style="text-align: left;"| up-4th, dim 5th
| ^4, d5
| ^G, Ab
|style="text-align: left;"| comma-wide 4th
| K4
| KG
|-
| 11
| 600
| p-増4度,<br>p-減5度,<br>半オクターヴ
| A4, HO
| 増4度,<br>減5度
| A4, d5
| Gx, <br>Abb
| 重増擬4度,<br />重減擬5度
| AA4d, <br>dd5d
| Gx, <br>Abb
| 本位6度
| N6
| γ
|style="text-align: left;"| downaug 4th, updim 5th
| vA4, ^d5
| vG#, ^Ab
|style="text-align: left;"| comma-narrow augmented 4th<br>comma-wide diminished 5th
| kA4<br>Kd5
| kG#, KAb
|-
| 12
| 655
| p-短5度,<br>s-増4度
| pm5, sA4
| 短5度
| m5
| Ab
| 減擬5度
| d5d
| Ab
| 嬰6度,<br>変7度
| s6, f7
| γ#, Gb
|style="text-align: left;"| aug 4th, down-5th
| A4, v5
| G#, vA
|style="text-align: left;"| comma-narrow 5th
| k5
| kA
|-
| 13
| 709
| 本位5度
| 5, N5
| 長5度
| M5
| A
| 完全擬5度
| P5d
| A
| 本位7度
| N7
| G
|style="text-align: left;"| perfect 5th
| P5
| A
|style="text-align: left;"| perfect 5th
| P5
| A
|-
| 14
| 764
| s-短6度
| sm6
| 増5度,<br>減6度
| A5, d6
| A#, Bbb
| 増擬5度
| A5d
| A#
| 嬰7度
| s7
| G#
|style="text-align: left;"| minor 6th
| m6
| Bb
|style="text-align: left;"| minor 6th
| m6
| Bb
|-
| 15
| 818
| p-短6度
| pm6
| 短6度
| m6
| Bb
| 重増擬5度,<br>重減準7度
| AA5d, <br>dds7
| Ax, <br>Cb<sup>3</sup>
| 変8度
| f8
| αb
|style="text-align: left;"| upminor 6th
| ^m6
| ^Bb
|style="text-align: left;"| classic minor 6th
| Km6
| KBb
|-
| 16
| 873
| p-長6度
| pM6
| 長6度
| M6
| B
| 減準7度
| ds7
| Cbb
| 本位8度
| N8
| α
|style="text-align: left;"| downmajor 6th
| vM6
| vB
|style="text-align: left;"| classic major 6th
| kM6
| kB
|-
| 17
| 927
| s-長6度
| sM6
| 増6度
| A6
| B#
| 短準7度
| ms7
| Cb
| 嬰8度,<br>変9度
| s8, f9
| α#, Ab
|style="text-align: left;"| major 6th
| M6
| B
|style="text-align: left;"| major 6th
| M6
| B
|-
| 18
| 982
| (s/p)-短7度
| m7
| 減7度
| d7
| Cb
| 長準7度
| Ms7
| C
| 本位9度
| N9
| A
|style="text-align: left;"| minor 7th
| m7
| C
|style="text-align: left;"| minor 7th
| m7
| C
|-
| 19
| 1036
| p-長7度
| pM7
| 完全7度
| P7
| C
| 増準7度
| As7
| C#
| 嬰9度,<br>変10度
| s9, f10
| A#, βb
|style="text-align: left;"| upminor 7th, dim 8ve
| ^m7, d8
| ^C, Db
|style="text-align: left;"| classic minor 7th
| Km7
| kC
|-
| 20
| 1091
| p-増7度
| pA7
| 増7度
| A7
| C#
| 重増準7度,<br>重減8度
| AAs7, <br>dd8
| Cx, <br>Dbb
| 本位10度
| N10
| β
|style="text-align: left;"| downmajor 7th, updim 8ve
| vM7, ^d8
| vC#, ^Db
|style="text-align: left;"| classic major 7th
| kM7
| kC#
|-
| 21
| 1145
| s-長7度
| sM7
| 減8度
| d8
| Db
| 減8度
| d8
| Db
| 嬰10度
| s10
| β#, Cb
|style="text-align: left;"| major 7th, down 8ve
| M7, v8
| C#, vD
|style="text-align: left;"| major 7th / comma-narrow 8ve
| M7 / k8
| C#, kD
|-
| 22
| 1200
| オクターヴ
| 8
| オクターヴ
| P8
| D
| オクターヴ
| P8
| D
| 本位11度
| N11
| C
|style="text-align: left;"| perfect octave
| P8
| D
|style="text-align: left;"| perfect 8ve
| P8
| D
|}


==純正音程近似==
==純正音程近似==
=== 15-奇数リミット音程のマッピング ===
=== 15-奇数リミット音程のマッピング ===
{{Q-odd-limit intervals|22}}
{{Q-odd-limit intervals|22}}


233行目: 903行目:


== レギュラー音律の性質==
== レギュラー音律の性質==
(以下未翻訳・推敲)
{| class="wikitable center-4 center-5 center-6"
{| class="wikitable center-4 center-5 center-6"
! rowspan="2" | {{en仮リンク|サブグループ|subgroup}}
! rowspan="2" | {{en仮リンク|サブグループ|subgroup}}
285行目: 953行目:
=== 一様写像 ===
=== 一様写像 ===
{{Uniform map|13|21.5|22.5}}
{{Uniform map|13|21.5|22.5}}
todo


=== コンマ ===
=== コンマ ===
22平均律は以下のコンマを{{en仮リンク|テンパーアウト|temper out}}する。（[[ヴァル]]は {{val| 22 35 51 62 76 81 }} とする。）
22平均律は以下のコンマを{{en仮リンク|テンパーアウト|temper out}}する（[[ヴァル]]は {{val| 22 35 51 62 76 81 }} とする。）


{| class="commatable wikitable center-all left-3 right-4 left-6"
{| class="commatable wikitable center-all left-3 right-4 left-6"
589行目: 1,255行目:
: ''[[:en:22edo tetrachords]]を参照のこと。''
: ''[[:en:22edo tetrachords]]を参照のこと。''


==記譜法==
==コードネーム==
 
アップ&ダウン記法と{{en仮リンク|カラー記法|color notation}}を組み合わせると、次のようにクオリティをカラーと大まかに関連付けることができる。
===スーパーパイス/ポーキュパイン表記===
Superpyth/Porcupine Notation is a system arising from both superpyth and porcupine temperament. It categorizes each 22edo interval as major and minor of one or both of those temperaments. s indicates superpyth and p indicates porcupine. Because p now represents porcupine and not perfect, P in perfect intervals is no longer used in this system. Instead the number is used without P and is read as either just the number or "Natural". Example: P5 becomes 5 or N5 = Perfect fifth becomes Natural fifth.


===ポーキュパイン表記===
{| class="wikitable center-all left-4"
Porcupine Notation uses the porcupine generator to generate the notation as well. The 2nd and 7th are perfect, and the 4th and 5th are imperfect like the 3rd and 6th. The natural notes represent a chain of 2nds ABCDEFG. This is the only way to use a heptatonic notation without additional accidentals.
 
The keyboard runs D * * E * * F * * G * * * A * * B * * C * * D.
 
=== ペンタトニック表記 ===
In Pentatonic Notation, the degrees are unison, subthird, fourthoid, fifthoid, subseventh and octoid. The natural notes represent a chain of 5ths FCGDA. This is the only way to use a chain-of-fifths notation without additional accidentals.
 
The keyboard runs D * * * * F * * * G * * * A * * * * C * * * D.
 
=== デカトニック表記 ===
The Decatonic Notation is based on Paul Erlich's decatonic scales. Unlike typical notation, the decatonic system is based on a scale of 10 tones rather than 7. This approach requires an entire re-learning of chords, intervals, and notation, but it allows 22EDO to be notated using only one pair of accidentals, and gives the opportunity to escape a heptatonic thinking pattern. The system is based on two chains of fifths: one represented by Latin letters, the other by Greek. The two chains can be looked at as two juxtaposed pentatonic scales.
 
Chain 1: C G D A E
 
Chain 2: γ δ α ε β
 
The alphabet is, in ascending order: C δ D ε E γ G α A β C
 
In this alphabet, a chain of fifths is preserved because equivalent Greek letters also represent fifths if they are the same as their Latin counterparts. For example G-D is a fifth, and so is γ-δ.
 
=== サジタルノーテーション ===
When 22edo is treated as generated by a cycle of its fifths, the naturals F C G D A E B represent a chain of those 13\22 fifths; consequently, the whole tone comes out to four degrees and the apotome (pythagorean sharp/flat) comes out to three degrees. Three pairs of sagittal symbols, dividing that apotome into three parts, are all that is necessary, and offer plenty of enharmonic equivalents:
 
[[File:22edo.png|alt=22edo.png|22edo.png]]
 
This notation is consistent with Sagittal's notation of 5-limit JI harmony: "major" 3rds and 6ths appear as (super)pythagorean intervals flattened by a syntonic comma.
 
The division of the apotome into three syntonic commas also indicates 22's tempering out of the [[250/243|porcupine comma]] (which is equivalent to three syntonic commas minus a Pythagorean apotome).
 
We also have, from the appendix to [[The Sagittal Songbook]] by [[JacobBarton|Jacob A. Barton]], this diagram of how to notate 22-EDO in the Revo flavor of Sagittal:
 
[[File:22edo Sagittal.png|800px]]
 
=== アップ&ダウン表記 ===
 
Treating [[Ups and Downs Notation|ups and downs]] as "fused" with sharps and flats, and never appearing separately:
 
[[File:Tibia_22edo_ups_and_downs_guide_1.png|alt=Tibia 22edo ups and downs guide 1.png|800x147px|Tibia 22edo ups and downs guide 1.png]]
 
Treating ups and downs as independent of sharps and flats, and sometimes appearing separately:
 
[[File:Tibia_22edo_ups_and_downs_guide_2.png|alt=Tibia 22edo ups and downs guide 2.png|800x150px|Tibia 22edo ups and downs guide 2.png]]
 
A D downmajor scale with mandatory accidentals (no key signature), with minimal accidentals (only when needed to override the key signature), and with independent ups and downs.
 
[[File:Tibia_22edo_guide_D_major.png|alt=Tibia 22edo guide D major.png|800x68px|Tibia 22edo guide D major.png]]
 
Shown below is [[Paul Erlich]]'s "Tibia" in G, with independent ups and downs.
 
<gallery mode="slideshow">
File:Tibia in G CORRECTED-1.png|alt=Tibia in G CORRECTED-1.png|Tibia in G (page 1)
File:Tibia in G CORRECTED-2.png|alt=Tibia in G CORRECTED-2.png|Tibia in G (page 2)
</gallery>
 
=== 22平均律の各記譜法の比較 ===
 
{| class="wikitable center-all right-2"
|-
|-
![[Degree]]
! クオリティ
![[cent|Cents]]
! {{en仮リンク|カラーネーム|color name}}
! colspan="2" | Superpyth/Porcupine Notation
! [[モンゾ]]形式
! colspan="3" | Porcupine
! 例
! colspan="3" | Pentatonic
! colspan="3" |Decatonic
! colspan="3" |Sagittal
! colspan="3" |Ups and Downs
|-
| 0
| 0
| Natural Unison
| 1
| perfect unison
| P1
| D
| perfect unison
| P1
| D
|natural 1st
|N1
|C
|
|
|
|perfect unison
|P1
|D
|-
| 1
| 55
| s-minor second
| sm2
| aug unison
| A1
| D#
| aug unison
| A1
| D#
|flat 2nd
|f2
|C#, δb
|
|
|
|minor 2nd
|m2
|Eb
|-
|-
| 2
| rowspan="2" | 短
| 109
| p-diminished second
| pd2
| dim 2nd
| d2
| Eb
| double-aug unison, <br>double-dim sub3rd
| AA1, <br>dds3
| Dx, <br>Fb<span style="vertical-align: super;">3</span>
|natural 2nd
|N2
|δ
|
|
|
|upminor 2nd
|^m2
|^Eb
|-
| 3
| 164
| p-minor second
| pm2
| perfect 2nd
| P2
| E
| dim sub3rd
| ds3
| Fbb
|sharp 2nd, flat 3rd
|s2, f3
|δ#, Db
|
|
|
|downmajor 2nd
|vM2
|vE
|-
| 4
| 218
| (s/p) Major second
| M2
| aug 2nd
| A2
| E#
| minor sub3rd
| ms3
| Fb
|natural 3rd
|N3
|D
|
|
|
|major 2nd
|M2
|E
|-
| 5
| 273
| s-minor third
| sm3
| dim 3rd
| d3
| Fb
| major sub3rd
| Ms3
| F
|sharp 3rd
|s3
|D#
|
|
|
|minor 3rd
|m3
|F
|-
| 6
| 327
| p-minor third
| pm3
| minor 3rd
| m3
| F
| aug sub3rd
| As3
| F#
|flat 4th
|f4
|εb
|
|
|
|upminor 3rd
|^m3
|^F
|-
| 7
| 382
| p-Major third
| pM3
| major 3rd
| M3
| F#
| double-aug sub3rd, <br>double-dim 4thoid
| AAs3, <br>dd4d
| Fx, <br>Gbb
|natural 4th
|N4
|ε
|
|
|
|downmajor 3rd
|vM3
|vF#
|-
| 8
| 436
| s-Major third
| sM3
| aug 3rd, dim 4th
| A3, d4
| Fx, Gb
| dim 4thoid
| d4d
| Gb
|sharp 4th, flat 5th
|s4, f5
|ε#, Eb
|
|
|
|major 3rd
|M3
|F#
|-
| 9
| 491
| Natural Fourth
| 4, N4
| minor 4th
| m4
| G
| perfect 4thoid
| P4d
| G
|natural 5th
|N5
|E
|
|
|
|perfect fourth
|P4
|G
|-
| 10
| 545
| p-Major fourth, s-dim fifth
| pM4, sd5
| major 4th
| M4
| G#
| aug 4thoid
| A4d
| G#
|sharp 5th, flat 6th
|s5, f6
|E#, γb
|
|
|
|up-4th, dim 5th
|^4, d5
|^G, Ab
|-
| 11
| 600
| p-Augmented Fourth,
p-diminished Fifth
Half-Octave
| A4, HO
| aug 4th, <br>dim 5th
| A4, d5
| Gx, <br>Abb
| double-aug 4thoid, <br>double-dim 5thoid
| AA4d, <br>dd5d
| Gx, <br>Abb
|natural 6th
|N6
|γ
|
|
|
|downaug 4th, updim 5th
|vA4, ^d5
|vG#, ^Ab
|-
| 12
| 655
| p-minor Fifth, s-aug Fourth
| pm5, sA4
| minor 5th
| m5
| Ab
| dim 5thoid
| d5d
| Ab
|sharp 6th, flat 7th
|s6, f7
|γ#, Gb
|
|
|
|aug 4th, down-5th
|A4, v5
|G#, vA
|-
| 13
| 709
| Natural Fifth
| 5, N5
| major 5th
| M5
| A
| perfect 5thoid
| P5d
| A
|natural 7th
|N7
|G
|
|
|
|perfect 5th
|P5
|A
|-
| 14
| 764
| s-minor sixth
| sm6
| aug 5th, dim 6th
| A5, d6
| A#, Bbb
| aug 5thoid
| A5d
| A#
|sharp 7th
|s7
|G#
|
|
|
|minor 6th
|m6
|Bb
|-
| 15
| 818
| p-minor sixth
| pm6
| minor 6th
| m6
| Bb
| double-aug 5thoid, <br>double-dim sub7th
| AA5d, <br>dds7
| Ax, <br>Cb<span style="vertical-align: super;">3</span>
|flat 8th
|f8
|αb
|
|
|
|upminor 6th
|^m6
|^Bb
|-
| 16
| 873
| p-Major sixth
| pM6
| major 6th
| M6
| B
| dim sub7th
| ds7
| Cbb
|natural 8th
|N8
|α
|
|
|
|downmajor 6th
|vM6
|vB
|-
| 17
| 927
| s-Major sixth
| sM6
| aug 6th
| A6
| B#
| minor sub7th
| ms7
| Cb
|sharp 8th, flat 9th
|s8, f9
|α#, Ab
|
|
|
|major 6th
|M6
|B
|-
| 18
| 982
| (s/p) minor seventh
| m7
| dim 7th
| d7
| Cb
| major sub7th
| Ms7
| C
|natural 9th
|N9
|A
|
|
|
|minor 7th
|m7
|C
|-
| 19
| 1036
| p-Major seventh
| pM7
| perfect 7th
| P7
| C
| aug sub7th
| As7
| C#
|sharp 9th, flat 10th
|s9, f10
|A#, βb
|
|
|
|upminor 7th
|^m7
|^C
|-
| 20
| 1091
| p-Augmented seventh
| pA7
| aug 7th
| A7
| C#
| double-aug sub7th, <br>double-dim octave
| AAs7, <br>dd8
| Cx, <br>Dbb
|natural 10th
|N10
|β
|
|
|
|downmajor 7th
|vM7
|vC#
|-
| 21
| 1145
| s-Major seventh
| sM7
| dim 8ve
| d8
| Db
| dim octave
| d8
| Db
|sharp 10th
|s10
|β#, Cb
|
|
|
|major 7th
|M7
|C#
|-
| 22
| 1200
| Octave
| 8
| perfect octave
| P8
| D
| perfect octave
| P8
| D
|natural 11th
|N11
|C
|
|
|
|perfect octave
|P8
|D
|}
 
=== コードネーム ===
Combining ups and downs notation with [[color notation]], qualities can be loosely associated with colors:
 
{| class="wikitable center-all"
|-
! quality
![[color name]]
![[monzo]] format
! examples
|-
| rowspan="2" | minor
| zo
| zo
| [a b 0 1>
| {{monzo|a b 0 1}}
| 7/6, 7/4
| 7/6, 7/4
|-
|-
| fourthward wa
| fourthward wa
| [a b> where b &lt; -1
| {{monzo|a b}} (b &lt; -1)
| 32/27, 16/9
| 32/27, 16/9
|-
|-
| upminor
| アップ短
| gu
| gu
| [a b -1>
| {{monzo|a b -1}}
| 6/5, 9/5
| 6/5, 9/5
|-
|-
| downmajor
| ダウン長
| yo
| yo
| [a b 1>
| {{monzo|a b 1}}
| 5/4, 5/3
| 5/4, 5/3
|-
|-
| rowspan="2" | major
| rowspan="2" | 長
| fifthward wa
| fifthward wa
| [a b> where b &gt; 1
| {{monzo|a b}} (b &gt; 1)
| 9/8, 27/16
| 9/8, 27/16
|-
|-
| ru
| ru
| [a b 0 -1>
| {{monzo|a b 0 -1}}
| 9/7, 12/7
| 9/7, 12/7
|}
|}


All 22edo chords can be named using ups and downs. Alterations are always enclosed in parentheses, additions never are. An up or down immediately after the chord root affects the 3rd, 6th, 7th, and/or the 11th (every other note of a stacked-3rds chord 6-1-3-5-7-9-11-13).Here are the zo, gu, yo and ru triads:
すべての22平均律の和音は、アップ&ダウンを使用して名前を付けることができる。変位音は常に括弧で囲まれるが、追加音は括弧で囲まれない。コード根音の直後のアップ・ダウンは、3度、6度、7度、および11度（3度堆積和音 6-1-3-5-7-9-11-13 の一つおきの音）に影響する。zo, gu, yo, ruの三和音は次のとおり。


{| class="wikitable center-all"
{| class="wikitable center-all left-6"
|-
|-
![[Kite's color notation|color of the 3rd]]
! {{en仮リンク|3度のカラー|Kite's color notation}}
! JI chord
! 純正比
! notes as edosteps
! ステップ
! notes of C chord
! C上における音
! written name
! 表記
! spoken name
! 読み方
|-
|-
| zo
| zo
1,180行目: 1,310行目:
| C Eb G
| C Eb G
| Cm
| Cm
| C minor
| Cマイナー
|-
|-
| gu
| gu
1,187行目: 1,317行目:
| C ^Eb G
| C ^Eb G
| C^m
| C^m
| C upminor
| Cアップマイナー
|-
|-
| yo
| yo
1,194行目: 1,324行目:
| C vE G
| C vE G
| Cv
| Cv
| C downmajor or C down
| Cダウンメジャー, Cダウン
|-
|-
| ru
| ru
1,201行目: 1,331行目:
| C E G
| C E G
| C
| C
| C major or C
| Cメジャー, C
|}
|}


Examples:
例：


* 0-4-13 = C D G = C2
* 0-4-13 = C D G = C2
1,213行目: 1,343行目:
* 0-5-12 = C Eb vG = Cm(v5)
* 0-5-12 = C Eb vG = Cm(v5)


Further discussion of 22edo chord naming:
22平均律の和音の名前に関するより深い議論はこちらを参照。
 
* [[22edo Chord Names]]
* [[22 EDO Chords]]
* [[Ups and Downs Notation #Chords and Chord Progressions]]
* [[Chords of orwell]]


* [[:en:22edo Chord Names]]
* [[:en:22 EDO Chords]]
* [[:en:Ups and Downs Notation #Chords and Chord Progressions]]
* [[:en:Chords of orwell]]


== 音楽==
== 音楽==
 
: ''[[:en:22edo/musics]]や[[:en:category:22edo tracks]]を参照のこと。''
{{Main| 22edo/Music }}
{{Catrel|22edo tracks}}
 


== 関連項目==
== 関連項目==
 
* {{en仮リンク|22平均律のLumatoneのマッピング|Lumatone mapping for 22edo}}
* [[Lumatone mapping for 22edo]]
* {{en仮リンク|22平均律と7倍音ハーモニーにおけるWilliam Lynchの見解|William Lynch's Thoughts on Septimal Harmony and 22 EDO}}
* [[William_Lynch's_Thoughts_on_Septimal_Harmony_and_22_EDO|William Lynch's Thoughts on Septimal Harmony and 22 EDO]]
* {{en仮リンク|22平均律/Elioraのアプローチ|22edo/Eliora's Approach}}
* [[22edo/Eliora's approach|22edo/Eliora's Approach]]
 


== 外部リンク==
== 外部リンク==
* [[Sword, Ron]]. ''[http://www.metatonalmusic.com/books.html Icosakaidiphonic Scales for Guitar: Scales, Chord-Scales, Notation, and Theory for the Twenty-two Equal Divisions of the Octave]''. 2011.
* [[Sword, Ron]]. ''[http://www.metatonalmusic.com/books.html Icosakaidiphonic Scales for Guitar: Scales, Chord-Scales, Notation, and Theory for the Twenty-two Equal Divisions of the Octave]''. 2011.
* [http://lumma.org/tuning/erlich/erlich-decatonic.pdf Erlich, Paul, ''Tuning, Tonality, and Twenty-Two Tone Temperament'']
* [http://lumma.org/tuning/erlich/erlich-decatonic.pdf Erlich, Paul, ''Tuning, Tonality, and Twenty-Two Tone Temperament'']
* [http://porcupinemusic.weebly.com/ "Porcupine Music" - Website Focused on the Development of 22 EDO music]
* [http://porcupinemusic.weebly.com/ "Porcupine Music" - Website Focused on the Development of 22 EDO music]
* [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vnZJTEGOG4FhnGyOwXdpo1KHg73e0KwzgtgbayhT4y0/edit?usp=sharing 11-limit comma lists of selected microtonal EDOs]
* [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1vnZJTEGOG4FhnGyOwXdpo1KHg73e0KwzgtgbayhT4y0/edit?usp=sharing 11-limit comma lists of selected microtonal EDOs]
*[https://www.youtube.com/playlist?list=PLWl3gB1BGAwX4sPnbFc5L3gU_IoyUDQ9V Joseph Monzo's visualizations of 22edo scale generation from temperaments]
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLWl3gB1BGAwX4sPnbFc5L3gU_IoyUDQ9V Joseph Monzo's visualizations of 22edo scale generation from temperaments]
 
* [https://sites.google.com/site/microtonalmemo/%E5%BE%AE%E5%88%86%E9%9F%B3%E8%BE%9E%E5%85%B8/0-9/22edo22%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%BE%8B 22EDO – 微分音のメモ帳]
* [https://note.com/nayuta_823543/n/nf4ec8deec833 22平均律入門-ネーミング編-【042】– 変態音楽理論アカデミー]
* [https://note.com/nayuta_823543/n/n5743949557db メジャースケールは２つあったッ！22平均律スケール編【043】– 変態音楽理論アカデミー]


== 参考文献==
== 参考文献==
# Barbour, James Murray, ''Tuning and temperament, a historical survey'', East Lansing, Michigan State College Press, 1953 [c1951]
# Barbour, James Murray, ''Tuning and temperament, a historical survey'', East Lansing, Michigan State College Press, 1953 [c1951]
# Bosanquet, R.H.M. [https://www.webcitation.org/5kjJcrhEx ''On the Hindoo division of the octave, with additions to the theory of higher orders''], Proceedings of the Royal Society of London vol. 26, 1879, pp. 272-284. Reproduced in Tagore, Sourindro Mohun, ''Hindu Music from Various Authors'', Chowkhamba Sanskrit Series, Varanasi, India, 1965
# Bosanquet, R.H.M. [https://www.webcitation.org/5kjJcrhEx ''On the Hindoo division of the octave, with additions to the theory of higher orders''], Proceedings of the Royal Society of London vol. 26, 1879, pp. 272-284. Reproduced in Tagore, Sourindro Mohun, ''Hindu Music from Various Authors'', Chowkhamba Sanskrit Series, Varanasi, India, 1965
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